insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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salve avrei bisogno del vostro aiuto per lo studio della convergenza della seguente serie:

[math]\sum_{n=1}^{\infty }cos(n\pi )\sqrt{1-cos\frac{1}{n}}[/math]

il professore ci ha detto che è una serie a termini alterni.
quindi bisogna applicare il criterio di Leibniz..

io però non ho capito come fare a capire che è a termini alterni e come applicare Leibniz..
se mi potete aiutare..
grazie..
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Dovresti osservare che
[math]\cos(n\pi)=(-1)^n[/math]
insule23
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e perchè devo osservare che
[math]\cos(n\pi)=(-1)^n[/math]
me lo potresti spiegare..
poi come continuo a svolgere la serie..
se mi potresti dare qualche spunto..
non riesco a proseguire
grazie..
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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hai provato a vedere cosa viene quel coseno, per alcuni valori di
[math]n[/math]
? Quello basta a capire perché vale la relazione che ho scritto. Detto questo, la serie si può riscrivere come
[math]\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n,\qquad a_n=\sqrt{1-\cos\frac{1}{n}}>0[/math]

che quindi è a termini di segno alterno e per la quale si può applicare Leibniz. Dovresti far vedere che

1)
[math]\lim_{x\to+\infty} a_n=0[/math]
(immediato)
2)
[math]a_{n+1}<a_n,\ \forall\ n\ge 1[/math]
(molto meno immediato e non è detto che sia vero).
Idee?
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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Allora abbiamo che:

1)
[math]\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{1-\cos\frac{1}{n}}=\sqrt{1-1}=0[/math]


e

2)
[math]a_n>a_{n+1}[/math]


da cui sostituendo i relativi valori si ha:

[math]\sqrt{1-\cos\frac{1}{n}}>\sqrt{1-\cos\frac{1}{n+1}}[/math]

elevando entrambi i membri al quadrato

[math]{1-\cos\frac{1}{n}}>{1-\cos\frac{1}{n+1}}[/math]


[math]{\cos\frac{1}{n+1}}{-\cos\frac{1}{n}}>0[/math]


è giusto???
ora però non riesco a continuare..
mi sono bloccata..
se mi potresti aiutare..
grazie..
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Il punto 1) è corretto. Per il punto 2) devi dimostrare che
[math]a_{n+1}<a_n[/math]
, non usare questo fatto e far vedere che vale una qualche disuguaglianza.
Partiamo dal fatto che
[math]n+1 > n\ge 1[/math]
: allora ovviamente
[math]0<\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}\le 1<\frac{\pi}{2}[/math]
. Ora, la funzione coseno risulta decrescente sull'intervallo
[math][0,\pi/2][/math]
, pertanto abbiamo che
[math]\cos\frac{1}{n+1}>\cos\frac{1}{n}[/math]

(Ricorda che decrescente vuol dire che se
[math]a<b[/math]
allora
[math]f(a)>f(b)[/math]
).
A questo punto abbiamo quello che ci serve: possiamo scrivere

[math]-\cos\frac{1}{n+1} < -\cos\frac{1}{n}\ \Rightarrow\ 1-\cos\frac{1}{n+1} < 1-\cos\frac{1}{n}\ \Rightarrow\\ \sqrt{1-\cos\frac{1}{n+1}} <\sqrt{1 -\cos\frac{1}{n}}[/math]

e quindi abbiamo dimostrato quanto richiesto.

valendo sia 1) che 2), per il Teorema di leibniz la serie originale risulta convergente.


Domanda: la serie è assolutamente convergente?
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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Ok grazie...
Credo SEMPLICEMENTE CONVERGENTE..
e giusto altrimenti non saprei..
Grazie..
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Credi? Lo sai? lo hai dimostrato? Mah, io non capisco come vi rapportate allo studio universitario.

Cosa dovresti fare per capire se la serie è assolutamente convergente? Quale serie dovresti considerare? Che tipo di criterio potresti usare?
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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scusa ma non ho capito se è importante verificare se la serie converga assolutamente poichè il testo dell'esercizio non lo chiede..
se mi fai sapere poi come svolgere perchè ancora non l'abbiamo fatta..
grazie..
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Certo che è importante, ma come vi hanno insegnato ad affrontare le serie? Quando non hai a che fare con serie di segno costante, la prima cosa da fare e verificare l'assoluta convergenza! Quello che va studiato in questo caso è la serie dei valori assoluti, cioè questa

[math]\sum_{n=1}^\infty\sqrt{1-\cos\frac{1}{n}}[/math]

che è a termini positivi. Che criterio puoi usare per studiarla?
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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allora abbiamo che la quantità
[math]\sqrt{1-\cos\frac{1}{n}}[/math]
è una quantità positiva, per cui
[math]\left | \sqrt{1-\cos\frac{1}{n}}\right |=\sqrt{1-\cos\frac{1}{n}}[/math]
ora studiamo il carattere di quest'ultima..
possiamo applicare il criterio della radice
giusto??? e come faccio..
scusa ciampax ma non sto riuscendo a capire..
sto impazzendo..
se mi puoi aiutare completando questa serie..
grazie..
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Il criterio giusto da usare è quello del confronto asintotico. Dovresti sapere che
[math]1-\cos t\sim \frac{t^2}{2}[/math]
quando
[math]t\to 0[/math]
. Ora, per
[math]n\to+\infty\ \Rightarrow\ 1/n\t0 0[/math]
e pertanto
[math]\sqrt{1-\cos\frac{1}{n}}\sim\sqrt{\frac{1}{2n^2}}=\frac{1}{\sqrt{2} n}[/math]

Pertanto la serie proposta è asintoticamente equivalente a quella armonica, che non converge. La serie pertanto non converge assolutamente.
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