insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
Salva
salve avrei bisogno del vostro aiuto con la convergenza della seguente serie:
[math]\sum_{n=1}^{\infty }2^{n}n^{3}e^{-n}\cdot sin\left ( cos\, n\, arctan\sqrt{n} \right )[/math]

la serie è a termini positivi.
Consideriamo il temine generale e procediamo con il criterio del confronto e consideriamo la maggiorazione:
[math]2^{n}n^{3}e^{-n}\cdot sin\left ( cos\, n\, arctan\sqrt{n} \right )\leq \left | 2^{n}n^{3}e^{-n}\cdot sin\left ( cos\, n\, arctan\sqrt{n} \right )\right | [/math]
[math]=2^{n}n^{3}e^{-n}\cdot \left |sin\left ( cos\, n\, arctan\sqrt{n} \right ) \right |[/math]
osservando che essendo il seno una funzione limitata tra -1 e 1
si ha:
[math]\leq 2^{n}n^{3}e^{-n}=\left ( \frac{2}{e} \right )^{n}n^{3}[/math]

quindi il criterio del confronto ci permette di concludere che la serie data e la serie
[math]\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{2}{e} \right )^{n}n^{3}[/math]
hanno lo stesso carattere..
Ora tale serie è a termini positivi e utilizzando il criterio del rapporto si ha:
[math]\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{2}{e})^{n+1} (n+1)^{3}}{(\frac{2}{e})^{n} (n)^{3}}[/math]

è giusto??
come faccio a risolvere il limite e come posso concludere...
se mi potete aiutare..
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
Salva
Dunque, vogliamo studiare il carattere della seguente serie numerica:

[math]\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \; \; \; \; \; \; dove: \; a_n := \left(\frac{2}{e}\right)^n\,n^3\,\sin\left(\cos n \, \arctan\sqrt{n}\right) \; . \end{aligned}\\[/math]

Notando che
[math]\begin{aligned} \lim_{n\to \infty} a_n = 0 \end{aligned}[/math]
, ossia che la successione
[math]a_n[/math]
è infinitesima, siamo
almeno certi che la condizione necessaria per la convergenza di tale serie è verificata.

Ora, trattandosi di una serie a termini di segno qualsiasi è naturale fare appello al
criterio di convergenza assoluta secondo il quale se una serie converge in valore
assoluto allora converge (in generale non vale il contrario). Quindi studiamo quest'altra
serie numerica:
[math]\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \left|a_n\right| \; . \end{aligned}\\[/math]
A questo punto, trattandosi di una serie a termini di segno non negativo possiamo
applicare, ad esempio, il criterio del confronto (o di Gauss). In particolare, si ha

[math]\begin{aligned} \left|a_n\right| \le \left(\frac{2}{e}\right)^n\,n^3 \; .\end{aligned}\\[/math]
Semplificata in maniera consistente l'espressione da studiare è il momento
dell'attacco decisivo: l'applicazione del criterio del rapporto (o di d'Alembert).
Nello specifico, si ha quanto segue:

[math]\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{e}\frac{n^3}{(n + 1)^3} = \frac{2}{e} < 1 \end{aligned}\\[/math]
da cui si deduce che la serie in esame converge. :)
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
"Chi se ne frega della scuola": la presentazione del libro di Skuola.net

Lascia un messaggio ai conduttori Vai alla pagina TV

In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di agosto
Vincitori di agosto

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

Mikisidori

Mikisidori Geek 58 Punti

VIP
Registrati via email