AlexAlessio
AlexAlessio - Sapiens - 358 Punti
Salva
Date le funzioni

f(x) = x+a
g(x) = x^2 + b

determina quali condizioni devono soddisfare a e b in modo che risulti fog = gof (ovviamente sarebbe f composto g e g composto f)

grazie :D
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
Salva
Siano date due funzioni
[math]f : A \to B[/math]
e
[math]g: C \to D\\[/math]
.
La composizione
[math]g \circ f[/math]
è definita se e solo se
[math]B[/math]
è sottoinsieme di
[math]C[/math]
;
in tal caso
[math](g \circ f): A \to D[/math]
è definita da
[math](g \circ f)(x) := g(f(x))[/math]
,
per ogni
[math]x \in A\\[/math]
.
La composizione
[math]f \circ g[/math]
è definita se e solo se
[math]D[/math]
è sottoinsieme di
[math]A[/math]
;
in tal caso
[math](f \circ g): C \to B[/math]
è definita da
[math](f \circ g)(x) := f(g(x))[/math]
,
per ogni
[math]x \in C\\[/math]
.
Nel nostro caso, dato che
[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/math]
e
[math]g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/math]
, sono definite
entrambe le composizioni. In particolare:
[math]\small (g \circ f)(x) = (x + a)^2 + b[/math]
ed
[math]\small (f \circ g)(x) = \left(x^2 + b\right) + a\\[/math]
.
Ebbene, perché si verifichi
[math](g \circ f) = (f \circ g)[/math]
deve essere
[math](x + a)^2 + b = \left(x^2 + b\right) + a[/math]
, ossia:
[math]x^2 + 2ax + a^2 + b = x^2 + a + b[/math]
che semplificata porge:
[math](2a)x + a(a - 1) = 0[/math]
. In definitiva, tale uguaglianza è un'identità,
ovvero vale per ogni x reale, se e soltanto se
[math]a = 0 \, \land \forall\, b \in \mathbb{R}[/math]
. :)
AlexAlessio
AlexAlessio - Sapiens - 358 Punti
Salva
Grazie :hi
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di agosto
Vincitori di agosto

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

anny=)

anny=) Moderatore 30792 Punti

VIP
Registrati via email