stefano166
stefano166 - Ominide - 41 Punti
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1) Una circonferenza è tangente all'asse y alla parabola di equazione x = y^2 -1 e il suo centro è sull'asse x. determina l'equazione della circonferenza.

Io ho disegnato la parabola con vertice e punti, e poi non so che fare riguardo la circonferenza. Deduco però che se ha centro sull'asse x, l'ordinata sarà O mentre x sarà un parametro giusto? E quindi devo risolvere rispetto a x no?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Ricordando che l'equazione cartesiana di una circonferenza di centro
[math]C(x_c,\,y_c)[/math]
e raggio
[math]R > 0[/math]
è del tipo
[math]\small (x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2[/math]
,
se il centro sta sull'asse delle ascisse allora
[math]y_c = 0[/math]
e se tale circon-
ferenza deve essere tangente all'asse delle ordinate allora
[math]|x_c| = R\\[/math]
.
Non è tutto: perché tale circonferenza possa essere tangente anche a detta
parabola allora sicuramente
[math]x_c > 0[/math]
(lo si nota molto bene graficamente),
quindi
[math]x_c = R[/math]
e allora l'equazione della nostra circonferenza assume la
forma
[math](x - R)^2 + y^2 = R^2[/math]
; rimane da determinare
[math]R\\[/math]
.
A tale scopo si intersecano le equazioni delle due curve in esame:

[math]\begin{cases}y^2 = x + 1 \\ (x - R)^2 + y^2 = R^2\end{cases}\\[/math]
e si impone la condizione di tangenza: l'annullamento del discriminante. ;)
stefano166
stefano166 - Ominide - 41 Punti
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Si ma perché xc = R??
"R" in senso di raggio o parametro, incognita?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Per fare in modo che tale circonferenza sia tangente all'asse delle
ordinate: non lo noti dal disegno? È un fatto a dir poco lampante. ;)

"R" è il raggio della circonferenza che dobbiamo determinare!!
stefano166
stefano166 - Ominide - 41 Punti
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Io ho disegnato la parabola ma non noto niente..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Se aspetti che la parabola parli diventi vecchio!! :D

Dunque, graficata la parabola in oggetto e assodato che la circonferenza che
stiamo cercando perché il proprio centro appartenga all'asse delle ascisse deve
essere
[math]y_c = 0\\[/math]
allora alcuni esempi di circonferenze con tali caratteristiche sono:

Noi però stiamo cercando una circonferenza che sia anche tangente all'asse
delle ordinate e perché ciò accada deve per forza essere
[math]|x_c| = R[/math]
, ossia
la distanza del centro dall'asse delle ordinate deve essere pari al raggio della
circonferenza (questo è un fatto banale, o lo si riesce a "vedere", altrimenti
l'esercizio non lo si risolve, non ci sono molte alternative).

Non è tutto. Infatti, si nota che qualora si scelga
[math]x_c = - R[/math]
si incappa in
situazioni di questo genere:


e dato che la terza condizione che dobbiamo rispettare consiste nella tangenza
della circonferenza con la parabola, dobbiamo scartare tale scelta. Così facendo
sappiamo che la nostra circonferenza di raggio
[math]R[/math]
(incognito) ha centro
[math]\small C(R,\,0)[/math]
,
ossia è descritta dall'equazione cartesiana
[math](x - R)^2 + y^2 = R^2\\[/math]
ed è del tipo:

Siamo al traguardo! Dobbiamo solamente selezionare tra le circonferenze di
quest'ultimo "tipo", l'unica che sia tangente a detta parabola. Per fare questo,
come sopra scritto, si pongono a sistema le equazioni delle due curve:

[math]\begin{cases} y^2 = x + 1 \\ (x - R)^2 + y^2 = R^2 \end{cases}\\[/math]
da cui otteniamo

[math](x - R)^2 + (x + 1) = R^2 \; \; \Leftrightarrow \; \; x^2 + (1 - 2R)\,x + 1 = 0\\[/math]
e imponendo la condizione di tangenza tra le due curve, si ha

[math]\Delta = 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; (1 - 2R)^2 - 4\cdot 1 \cdot 1 = 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; R = - \frac{1}{2} \, \vee \, R = \frac{3}{2} \; . \\[/math]
Dal momento che sappiamo essere, per definizione,
[math]R > 0[/math]
allora il raggio
cercato misura
[math]R = \frac{3}{2}[/math]
. Abbiamo concluso: la circonferenza cercata ha
equazione cartesiana
[math]\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2\\[/math]
che graficata porge:

Con questo direi che è davvero tutto. ;)
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