___Nì!___
___Nì!___ - Habilis - 270 Punti
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Ciao a tutti, avrei alcuni dubbi sulla risoluzione di 3 esercizi che mi sono stati assegnati per casa, se mi date un aiuto ve ne sarei grato.

Determinare l'equazioine del luogo dei centri delle circonferenze tangenti all'asse delle x che staccano sull'asse y una corda di lunghezza 4. [RISULTATO: y^2-x^2=4]

Determinar i valori dei parametri a e b per i quali l'iperbole y=(ax-5)/(bx+1) ha come asintoti le rette x=1 e y=-2

Nell'equazione (x^2)/(2k-4)+(y^2)/(k+1)=1 determinare per quali valori di k si hanno.
  • iperboli
    iperboli equilatere
    iperboli con fuochi sull'asse y
    ellissi
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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scusa se ti rispondo solo oggi, ma ieri non riuscivo a trovare la soluzione nonostante ce l'avessi sotto il naso. se ti serve ancora, ti posto le soluzioni. altrimenti mi dispiace :dontgetit ma ieri proprio non ci arrivavo

1) chiamo la cironferenza x^2+y^2+ax+by+c=0. visto che è tangente all'asse x metto a sistema l'equazione della circonferenza con quella dell'asse delle x (y=0) e pongo il delta dell'equazione risolvente uguale a 0:

x^2+y^2+ax+by+c=0
y=0

x^2+ax+c=0
y=0

l'equazione risolvente è x^2+ax+c e il suo deta è a^2-4c. devo quindi porre

a^2-4c=0 ---> c=a^2/4

trovo ora le intersezioni della circonferenza con l'asse delle y:

x^2+y^2+ax+by+a^2/4=0
x=0

y^2+by+a^2/4=0
x=0

il delta è b^2-4*a^2/4=b^2-a^2. affinchè ci siano soluzioni, b^2-a^2>0 ---> b^2>a^2 ---> |b|>|a|

le intersezioni con l'asse y sono quindi

[math]A(0;\frac{-b+\sqrt{b^2-a^2}}2)[/math]
e
[math]B(0;\frac{-b-\sqrt{b^2-a^2}}2)[/math]

la distanza tra A e B vale

[math]\frac{-b+\sqrt{b^2-a^2}}2-\frac{-b-\sqrt{b^2-a^2}}2=\frac{2\sqrt{b^2-a^2}}2=\sqrt{b^2-a^2}[/math]

devo trovare quelle circonferenze per cui AB=4 e quindi

[math]\sqrt{b^2-a^2}=4[/math]

b^2-a^2=16

b^2=a^2+16

[math]b=\pm\sqrt{a^2+16}[/math]

la circonferenza è quindi del tipo

[math]x^2+y^2+ax\pm\sqrt{a^2+16}+\frac{a^2}4=0[/math]

e il centro di questa circonferenza è

[math]C(-\frac a2;\mp\frac{\sqrt{a^2+16}}2)[/math]

visto che

[math]a^2=4*(-\frac a2)^2[/math]

il punto C può essere visto come

[math]C(-\frac a2;\mp\frac{\sqrt{4(-\frac a2)^2+16}}2)[/math]

e quindi i punti C sono del tipo

[math]y=\mp\frac{\sqrt{4x^2+16}}2[/math]

[math]y^2=\frac{4x^2+16}4[/math]

4y^2=4x^2+16

4y^2-4x^2=16

y^2-x^2=16

2) un'equazione del tipo

[math]y=\frac{dx+e}{fx+g}[/math]
con
[math]f\ne0[/math]
e
[math]dg\ne ef[/math]

ha per asintoti

[math]x=-\frac gf[/math]
e
[math]y=\frac df[/math]

nel tuo caso

d=a
e=-5
f=b
g=1

devi quindi porre

[math]b\ne 0[/math]

e

[math]a*1\ne -5*b[/math]

[math]a\ne-5b[/math]

poste queste condizioni, gli asintoti sono

[math]x=-\frac1b[/math]
e
[math]y=\frac ab[/math]

3) le iperboli sono del tipo

[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm1[/math]

mentre le ellissi sono del tipo

[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math]

affinchè la tua equazione sia un iperbole (2k-4) e (k+1) devono essere discordi, e cioè

(2k-4)(k+1)<0

2k^2-2k-4<0

k^2-k-2<0

-1<k<2

in tutti gli altri casi (2k-4) e (k+1) sono concordi. ma questo non basta a dire che l'equazione è un ellissi: quando sono entrambi negativi l'equazione diventa del tipo

[math]-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/math]

che ovviamente non da soluzioni. pquindi per i k<-1 vel k>2 devi controllare che k+1>0. se k+1 fosse minoe di 0, lo sarebbe anche 2k-4 (abbiamo detto prima che per k<-1 vel k>2 quei due sono concordi) e l'equazione non avrebbe soluzioni. vice versa, se k+1>0 ---> 2k-4>0 ---> l'equazione è un ellisse. k+1>0 ---> k>-1. ora devo intersecare k>-1 e (k<-1 vel k>2) che mi da per soluzioni k>2. riasumendo il tutto, se -1<k<2 ---> l'equazione è un iperborle; se k>2 ---> l'equazione è un ellissi. se k<-1 ---> l'equazione non ha soluzioni
___Nì!___
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Grazie Mille Plum!
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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di niente, mi scuso ancora per il ritardo
per i due punti del terzo esercizio non so come fare, mi mancano alcune nozioni che dovrei rivedere. se non riesci a farli dimmelo, che cercherò di rispolverare quelle formule
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