patty18
patty18 - Ominide - 25 Punti
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io l'ho fatto ma ho qualche dubbio per esempio sulla parte del calcolo delle intersezioni con asse y!!!

f(x) = log(x^2-9)/3^x-27

se riuscireste a farmi lo studio della funzione :
-dominio
-caratterisctiche
-intersezione con gli assi
-positività

vi ringrazio già per l'aiuto!!!!!!

Aggiunto 57 minuti più tardi:

si giusto...allora per il dominio pongo il denominatore diverso da 0 e l'argomento del logaritmo >0!
e come soluzioni verrebbero:
x diverso da 3
x > 3 e x> -3
giusto?

poi per le caratteristiche non è una funzione ne pari ne dispari e non è periodica..

poi quando arrivo alle intersezioni con gli assi mi blocco:
asse y --> f(0) quindi log(0-9) / 1-27 = log(-9)/-26 e poi?


cmq come fai a scrivere come fai tu la funzione??? nn come scrivo io spero mi hai capita :lol

Aggiunto 27 minuti più tardi:

si scusa per il dominio ma nn avevo scritto la soluzione finale volevo solo sapere se il procedimento era corretto... cmq perchè nell'asse y 0 nn appartiene al dominio????
nella soluzione del dominio nn c'è sta cosa

Aggiunto 10 minuti più tardi:

???

Aggiunto 59 minuti più tardi:

ok ma nn ho capito perche hai messo che nell'asse y nn ci sono intersezioni

Aggiunto 16 ore 3 minuti più tardi:

ah oky... io credevo che nn appartenesse al dominio solo quando diceva tipo diverso da 0.... e questo sono le stupidaggini su cui mi perdo... avrei ancora un due cose... se riusciresti adarmi una dritta sui punti di continuità e discontinuità che l'altra richiesta ormai è chiusa... grazie cmq

Aggiunto 2 giorni più tardi:

guarda ti posto un esercizio che ho avuto in un compito, e vediamo se mi riesci a spiegare come si fa....

determinare i punti di discontinuità e la loro tipologia nella seguente funzione

Aggiunto 1 ore 22 minuti più tardi:

allora c'è f(x) = a sistema aperta una grande graffa e ci sono:
x+2/x^2-4 ....... x<-2
9/8x+2 .......-2 <x<=0
sen(3x)/x .....x >0

Aggiunto 1 minuti più tardi:

eh mi dice di fare questo: determinare i punti di discontinuità e la loro tipologia nella seguente funzione

cmq in ogniuna dopo per esempio x+2/x^2-4 ci sono dei puntini e poi c'è la x e idem per le altre sotto prima del -2 ci sono dei puntini e nella finale prima della x ci sono i puntini... io non ho la piu pallida idea che come si faccia!!!

Aggiunto 12 minuti più tardi:

si si è cosi

Aggiunto 1 minuti più tardi:

come si calcola la derivata di questa funzione???
y=senxcosx

so che D[f(x)*g(x)]= D[f(x]]*g(x)+D[g(x)]*f(x)

però nn riesco cmq a scomporla o almeno mi sembra di nn combinare...

Aggiunto 24 minuti più tardi:

lol mi perdo proprio sulle stupidaggini... ihih grazie mille.... tu sei bravo anche in informatica????

BIT5
BIT5 - Mito - 28649 Punti
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la funzione e':

[math] f(x)= \frac{ \log (x^2-9)}{3^x-27} [/math]

Dammi conferma

E poi vediamo insieme, non te la svolgo che non serve a nulla, ma ti do qualche dritta..

Aggiunto 40 minuti più tardi:

parto dal fondo...

Uso il latex... se vuoi c'e' una guida all'inizio della sezione di matematica :)

Poi.

Il concetto di come studiare il dominio e' corretto, ma le soluzioni come le hai scritte tu non hanno senso... infatti dire x>3 e x>-3 significa che x dev'essere >3 ma anche >-3.. include anche, dunque, ad esempio, x=0 che x>-3 lo prevede ma x>3 no.. O.o non ha senso

Dunque. Il denominatore esclude x=3 e ok.

Il numeratore: argomento > in senso stretto di zero.

Oppure risolvi la disequazione...

[math] x^2-9>0 \to (x+3)(x-3) > 0 [/math]

Primo fattore: x>-3
Secondo fattore: x>3

Fai il grafico e ottieni x<-3 U x>3.

Quindi il dominio sara' l'intersezione di quanto trovato, e dunque x<-3 U x>3 x=3 e' escluso in quanto x>3 e' "in senso stretto"

Per vedere se la funzione e' pari o dispari, sostituisci a tutte le x, il valore -x e vedi che succede:

[math] f(-x)= \frac{ \log((-x)^2-9)}{3^{(-x)}-27} = \frac{\log(x^2-9)}{ \frac{1}{3^{x}} - 27 } [/math]
che effettivamente, anche facendo il mcm del denominatore del denominatore, non porta a nulla di buono..
La funzione dunque come dici tu non e' ne pari ne' dispari, tantomeno periodica (non ci sono funzioni periodiche)

Intersezione con gli assi:

Asse y (x=0) non ammessa dal dominio

Asse x (y=0) :

[math] \frac{ \log(x^2-9)}{3^x-27}=0 [/math]

La frazione sara' uguale a zero se il numeratore e' uguale a zero, quindi
[math] \log (x^2-9)=0 \to \log(x^2-9)= \log 1 \to x^2-9=1 \\ \to x^2=10 \to x= \pm \sqrt{10} [/math]

I valori trovati appartengono al dominio.

POSITIVITA':

NUMERATORE > 0

[math] \log (x^2-9) > 0 \to \log (x^2-9) > \log 1 \to x^2-9 > 1 \\ \to x^2>10 \to x<- \sqrt{10} \cup x> \sqrt{10} [/math]

Denominatore > 0
[math] 3^x -27 > 0 \to 3^x>27 \to 3^x>3^3 \to x>3 [/math]

Fai il grafico e avrai (radice 10 e' poco piu' di 3, -radice10 e' poco meno di 3)

FRAZIONE POSITIVA per

[math] - \sqrt{10} < x < -3 \cup \ x> \sqrt{10} [/math]

(e quindi negativa nel resto del dominio ovvero per
[math] x<- \sqrt{10} \cup 3 < x < \sqrt{10} [/math]

Dovrebbe essere cosi' l'ho fatta di corsa pero'..

Aggiunto 8 ore 20 minuti più tardi:

L'asse y ha equazione x=0

Per trovare le intersezioni, dunque, dovresti sostituire alle x della funzione il valore 0

Ma questo non ha senso, perche' x=0 non appartiene al dominio, la funzione e' definita per x<-3 e per x>3..

Infatti se sostituisci hai al numeratore log(-9) che infatti non esiste..

Aggiunto 12 ore 52 minuti più tardi:

Come conclusione di quanto detto, quando scrivi che il dominio e' x<-3 U x>3 dici che la funzione esiste prima di -3 e dopo 3.

Questo implica che da -3 a 3 ci sara' sul grafico un "buco" in cui la funzione non esiste..

E quindi non esistera' in 0, in 1, in -2 ecc ecc

E pertanto tutte le operazioni fatte da -3 a 3 non avranno significato in quanto andresti a calcolare qualcosa in un intervallo in cui la funzione non esiste..

Quindi non avra' senso calcolare che valore la funzione assume, ad esempio, in x=2, il limite della funzione per x-->1 e, ovviamente, il valore che la funzione assume per x=0 (asse y)

Insomma, banalizzando parecchio, e' come se ci fosse la linea ferroviaria da Roma a Napoli e poi da Cosenza a Reggio Calabria, e tu volessi cercare un treno tra Napoli e Cosenza! Se non c'e' la ferrovia, inutile cercare un treno :)

Per i punti di discontinuita' provo a banalizzare il concetto evitando definizioni e dimostrazione (che ciampax ti ha gia' fornito brillantemente) ma cercando di spiegarti la cosa in termini banali.

Abbiamo una funzione, che non esiste in determinati punti (ovvero il Dominio esclude questi punti).

Possono accadere 3 situazioni:

Supponiamo di avere una funzione che ha come dominio

[math] x \ne 2 [/math]

La funzione dunque esiste su tutto R ad eccezione di 2.

Studi allora che succede intorno a 2

calcoli il limite, dunque

[math] \lim_{x \to 2^-} f(x) [/math]

e analogamente per 2+

Se trovi che i due limiti tendono a due valori diversi allora la discontinuita' e' di prima specie

Immagina di aver trovato che lim x-->2- f(x)=5 e lim x-->2+ f(x)=2

Vuol dire che arrivando a 2 la funzione assume un valore che e' quasi 5, poi in x=2 non c'e' e poi "riparte" da 2

Abbiamo una discontinuita' di prima specie.

Si parla di "salto" della funzione nel punto di dicontinuita' che e' data dalla differenza tra i due valori (in questo caso 2-5=-3)

Aggiunto 8 minuti più tardi:

La discontinuita' di prima specie non e' eliminabile. In parolve povere, non abbiamo modo di inserire qualcosa in piu' affinche' la funzione diventi continua.

Se calcoli il limite della funzione nel punto di discontinuita' e uno dei due limiti (o tutti e due) tende a infinito, la discontinuita' e' di seconda specie.

anche questa non e' eliminabile e, ovviamente, non sara' possibile calcolarne il salto (visto che la funzione almeno in un limite tende a infinito)

Se invece calcolando il limite sinistro e il limite destro, ottieni che la funzione tende allo stesso valore (finito) hai una discontinuita' di terza specie..

Questa e' eliminabile..

Nell'esempio generico supposto che la funzione in x=2 non esiste, calcoliamo il limite sinistro e destro e troviamo che in entrambi i casi vale, ad esempio, 3

Ma allora sara' sufficiente imporre che in x=2 la funzione valga 3.

E disegnando la funzione (con il "buco" in x=2) e inserendo questo valore in x=2, la funzione diverra' continua.

E' banalmente il caso di

[math] f(x)= \frac{x}{x} [/math]

Definita su tutto R ad eccezione di x=0

La funzione sara' dunque semplificabile in

[math] f(x)=1 \ \ \ per \ \ \ x \ne 0 [/math]

Il limite sinistre e destro di zero daranno come risultato 1 (infatti una volta calcolato il dominio, la funzione varra' sempre 1!)

E quindi sara' sufficiente imporre che

[math] F(x)= \{ \frac{x}{x} \ \ \ per \ \ \ x \ne 0 \\ 1 \ \ \ per \ \ \ x=0 [/math]

E avremo eliminato la discontinuita'..

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Non riesco a visualizzare l'immagine...

Aggiunto 1 ore 36 minuti più tardi:

Ancora due domande:

sicura che il punto x=-2 sia escluso completamente? sia nella prima che nella seconda equazione e' escluso...

Poi

e' cosi'?

[math] f(x)= \{ \frac{x+2}{x^2-4} \ \ \ x<-2 \\ \frac{9}{8x+2} \ \ \ -2<x \le 0 \\ \frac{\sin(3x)}{x} \ \ \ x>0 [/math]

E infine..

che devo fare?

Aggiunto 11 minuti più tardi:

Allora:

questa e' una funzione definita per intervalli.

In poche parole dice:

prima di -2 la funzione da disegnare e' la prima.
poi tra -2 e 0 (0 compreso) e' la seconda

e poi da 0 in poi e' la terza.

Procediamo dunque per gradi.

Consideriamo il primo pezzo.

Il dominio e'

[math] x \ne \pm 2 [/math]

Siccome ne' -2 ne' 2 fanno parte dell'intervallo di studio (ovvero nell'intervallo x<-2 non abbiamo nessuno dei valori esclusi dal domini) questo pezzo di funzione e' sempre definita nell'intervallo di studio. Pertanto per x<-2 non abbiamo punti di discontinuita'.

Consideriamo il secondo pezzo:

Dominio

[math] 8x+2 \ne 0 \to 8x \ne -2 \to x \ne - \frac14 [/math]

Questo valore e' compreso nell'intervallo -2<x<=0 e pertanto e' un punto di discontinuita'.

Infine il terzo pezzo avra' come dominio x diverzo da 0, valore che non appartiene all'intervallo (il terzo pezzo vale per x>0)e pertanto non abbiamo punti di discontinuita' in questo intervallo.

Studiamo dunque il limite destro e sinistro di -1/4 per il secondo pezzo, e vediamo che per x--> -1/4- (ovvero a sinistra) la funzione tende a - infinito mentre per x--> -1/4+ la funzione tende a + infinito. Discontinuita' di seconda specie.

Poi dobbiamo verificare nei punti di "passaggio" da una all'altra funzione, che accade.

Ma prima devi rispondere alla domanda.

Sicura che gli intervalli siano: il primo x<-2 (in senso stretto) e il secondo -2<x<=0 (ovvero che il -2 sia escluso anche qui??)

Aggiunto 16 minuti più tardi:

Allora consideriamo cosa succede nell'intorno di -2..

Prima di tutto -2 e' un punto di discontinuita', evidentemente.

Infatti la funzione in -2 non e' assolutamente definita.

Calcoliamo il limite sinistro e quello destro, per capire che tipo di discontinuita' sia:

a sinistra di -2 (ovvero per quel valore infinitamente vicino a -2, e infinitamente più piccolo) esiste la prima funzione.

[math] \lim_{x \to -2^-} \frac{x+2}{x^2-4} = \lim_{x \to -2^-} \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} = \\ = \lim_{x \to -2^-} \frac{1}{x-2}= - \frac14 [/math]

Mentre
[math] \lim_{x \to -2^+} \frac{9}{8x+2} = \frac{9}{-16+2} = - \frac{9}{14 [/math]

E' una discontinuita' di prima specie, in quanto il limite destro e il limite sinistro tendono entrambi a due valori definiti.

Il "salto" sara' -1/4- -9/14 = -1/4+9/14 = -7/28 + 18/28 = 11/28

Vediamo ora che succede in x=0

per x-->0- avremo la seconda funzione e quindi, sostituendo, avremo che il limite tende a 9/2

Mentre per x--> 0 avremo

[math] \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} [/math]

Moltiplichiamo per 3/3 e avremo
[math] \lim_{x \to 0} 3 \frac{ \sin (3x)}{3x} [/math]

E siccome per x-->0 , 3x-->0 avremo il limite notevole sinx/x che tende a 1 e quindi il limite tende a 3.

Anche qui la discontinuita' sara' di prima specie, con salto pari a 9/2-3 = 3/2

Aggiunto 1 ore 16 minuti più tardi:

[math] f(x)= \sin x \cos x [/math]

dove per la regola
[math] g(x)= \sin x [/math]
e
[math] h(x)= \cos x [/math]

La derivata di senx e' cosx
la derivata di cosx e' -sinx

E dunque

[math] f'(x)= \cos^2x - \sin^2x = ( \cos x + \sin x)(\cos x - \sin x) [/math]

.

Aggiunto 4 ore 23 minuti più tardi:

No mi dispiace. Informatica non so nulla.

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