###### plum - Mito - 23902 Punti
sul libro ho trovato il seguente esercizio:

$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2+5x+4}{x^2-3x+7}\right)^x=$

io l'ho svolto così:

$\lim_{x\to+\infty}\left(1+\left(\frac{x^2+5x+4}{x^2-3x+7}-1\right)\right)^x=$

$\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{x^2+5x+4-x^2+3x-7}{x^2-3x+7}\right)^x=$

$\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^x=$

$\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{x-3+3}=$

$\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{x-3}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^3$

$\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{\frac{x(x-3)}x}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^3$

$\lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{x^2-3x}\right]^{\frac1x}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^3$

$\lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{x^2-3x+7-7}\right]^{\frac1x}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^3$

$\lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{x^2-3x+7}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{-7}\right]^{\frac1x}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^3$

$\lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{x^2-3x+7}\right]^{\frac1x}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{-\frac7x}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^3$

$\lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{(x^2-3x+7)\times\frac{8x-3}{8x-3}}\right]^{\frac1x}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{-\frac7x}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^3$

$\lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{\frac{x^2-3x+7}{8x-3}}\right]^{\frac{8x-3}x}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{-\frac7x}\times\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^3$

finalmente, sapendo che

$\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e$

risulta

$\lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{\frac{x^2-3x+7}{8x-3}}\right]^{\frac{8x-3}x}=e^{\frac{8x(1-\frac3{8x})}x=e^8$

$\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^{-\frac7x}=(1+\frac1{\infty})^{\frac{-7}{\infty}}=(1+0)^0=1$

$\left(1+\frac{8x-3}{x^2-3x+7}\right)^3=(1+\frac1{\infty})^3=(1+0)^3=1$

visto che un procedimento così complesso mi sembra abbastanza assurdo, che metodo si potrebbe usare in alternativa?

.
###### IPPLALA - Mito - 101142 Punti
plum t aiuterei volentieri ma il prof ha spiegato questo argomento questi giorni in cui sn stata male e non ho la spiegazione...
###### plum - Mito - 23902 Punti
ok, grazie lo stesso. comunque non è urgente, se in futuro recupererai gli argomenti posta pure
###### IPPLALA - Mito - 101142 Punti
Si, sicuramente!!

cmq è veramente strano il tuo procedimento...

...ma sei sicuro che nell'argomento del limite non puoi scomporre i polinomi e semplificare qualcosa?!
###### Cherubino - Mito - 11351 Punti
Io l'avrei fatto così:
per x che tende all'infinito i termini numerici del numeratore e del denominatore sono trascurabili;

rimane
$\left( \frac{x^2 + 5x}{ x^2 -3x}\right)^x$

che diventa

$\left( 1 + \frac {8}{ x-3}\right)^x$

il cui limite per x->+inf è e^8.

Ora, non so quanti professori di mate fiscali accetterebbero un simile procedimento (in gergo si dice che i fisici trattano la matematica come una prostituta).
I tuoi passaggi mostrano esplicitamente che i termini numerici che ho trascurato sono effettivamente trascurabili.
###### IPPLALA - Mito - 101142 Punti
Sai che non ho capito come hai fatto?!
###### Cherubino - Mito - 11351 Punti
Ho semplicemente trascurato i fattori + 4 al numeratore e -7 al denominatore, perché per x che tende all'infinito sono trascurabili.

Poi, ho semplificato la x al numeratore a denominatore.
Poi, ho aggiunto +3 e -3 al numeratore e ho raccolto in maniera tale da fare semplificare (x-3)/(x-3),
così è rimasto quel limite, che è un limite noto.
###### plum - Mito - 23902 Punti
IPPLALA: Si, sicuramente!!

cmq è veramente strano il tuo procedimento...

...ma sei sicuro che nell'argomento del limite non puoi scomporre i polinomi e semplificare qualcosa?!

no, non si riesce a scomporre

@cherubino: la mia prof non accetterebbe mai una cosa simile
###### Cherubino - Mito - 11351 Punti
plum: @cherubino: la mia prof non accetterebbe mai una cosa simile

Se le piace complicarsi la vita sono affari suoi ...
###### plum - Mito - 23902 Punti
ah, questi fisici... approssimano sempre tutto, non fanno mai le cose precise...
###### Cherubino - Mito - 11351 Punti
Chiaro: è evidente che quei termini numerici non contano un caco per x grandi...
###### plum - Mito - 23902 Punti
ma neanche x non vale nulla in confronto a x^2, per x molto grandi... allora perchè non semplificare anche quella?
###### Cherubino - Mito - 11351 Punti
Invece no, è questo il punto!
x è una variabile, cresce, un numero è costante.
E soprattutto, è tutto elevato alla x, quindi piccole differenze tra il num e il denum vengono "amplificate".

Se però semplifichi, ti viene che tende ad uno, che in alcuni casi è una buona approssimazione di e^8

Tra l'altro, sarei curioso di sentire la reazione di Ciampax a proposito dei miei passaggi azzardati..
###### plum - Mito - 23902 Punti
Cherubino: Se però semplifichi, ti viene che tende ad uno, che in alcuni casi è una buona approssimazione di e^8

no comment!

cmq hai visto il thread di maghy2? forse ti è sfuggito...
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