insule23
insule23 - Sapiens - 529 Punti
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salve avrei bisogno del vostro aiuto sul seguente esercizio:
si calcoli,se esiste tramite l'utilizzo di limiti notevoli, il seguente limite:
[math]\lim_{x \to 0}\left ( x\, log\left ( 1+x^{2} \right )-2\left ( e^{x\, sin^{2}x} -1\right ) \right )\cdot e^{\frac{1}{x}}[/math]

Possiamo scrivere il limite come:
[math]\lim_{x \to 0}\left ( x\, log\left ( 1+x^{2} \right )-2\left ( e^{x\, sin^{2}x} -1\right ) \right )\cdot \lim_{x \to 0}e^{\frac{1}{x}} [/math]

per quanto riguarda il primo limite, esso si puoi riscrivere come:
[math]\lim_{x \to 0} x\, log\left ( 1+x^{2} \right ) -2\left ( e^{x\, sin^{2}x} \right ) + 2[/math]

sfruttando le proprietà dei logaritmi quando x tende a 0
[math]\lim_{x \to 0} log\left ( 1+x^{2} \right )^{x} -2\left ( e^{x\, sin^{2}x} \right ) + 2[/math]

quindi il limite risulterà:
[math]\lim_{x \to 0} log\left ( 1+x^{2} \right )^{x}+\lim_{x \to 0} -2\left ( e^{x\, sin^{2}x} \right ) +\lim_{x \to 0} 2[/math]

[math]=log(1^{0})+(-2)(e^{0})+2=log(1)+(-2)(1)+2[/math]
[math]=(0)+(-2)+2=0[/math]


per il secondo limite abbiamo che:
[math]\lim_{x \to 0}e^{\frac{1}{x}}[/math]

occorre studiare separatamente il limite per x che tende a 0+ e x che tende a 0-.
Cominciamo con 0- e consideriamo il limite:
[math]\lim_{x \to 0^{-}}e^{\frac{1}{x}}=\lim_{y \to -\infty }e^{y}=0[/math]

avendo posto 1/x=y ed essendo che quando x tende a zero, y tende a -infinito;

mentre con 0+ abbiamo che:
[math]\lim_{x \to 0^{+}}e^{\frac{1}{x}}=\lim_{y \to +\infty }e^{y}=+\infty [/math]

avendo posto 1/x=y ed essendo che quando x tende a zero, y tende a +infinito.


Pertanto ,per i teoremi sul prodotto dei limiti, si ha:
[math]\lim_{x \to 0^{-}}\left ( x\, log\left ( 1+x^{2} \right )-2\left ( e^{x\, sin^{2}x} -1\right ) \right )\cdot e^{\frac{1}{x}}[/math]
[math]=0[/math]

e

[math]\lim_{x \to 0^{+}}\left ( x\, log\left ( 1+x^{2} \right )-2\left ( e^{x\, sin^{2}x} -1\right ) \right )\cdot e^{\frac{1}{x}}= +\infty [/math]

dunque per il teorema di unicità del limite, segue che NON ESISTE IL LIMITE ASSEGNATO.

è giusto??
fatemi sapere...
grazie..
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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il limite di
[math]e^{1/x}[/math]
è come hai detto te, quindi adesso devi risolvere la forma indeterminata
[math]0* \infty[/math]
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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scusa, ma se ti chiedono di risolvere l'esercizio usando i limiti notevoli e tu non ne hai usato neanche mezzo, come può esser giusto?
insule23
insule23 - Sapiens - 529 Punti
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Quindi come faccio a risolverlo...
Se mi potete aiutare..
Grazie...
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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ti faccio un esempio su parte dell'esercizio per farti vedere come ricondurti ad un limite notevole:
[math]lim_{x \to 0} e^{xsin^2x}-1[/math]
sfrutteremo inizialmente il limite notevole
[math]lim_{x \to 0} \frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1[/math]
e, per fare ciò, moltiplichiamo e dividiamo per
[math]xsin^2x[/math]
.
[math]lim_{x \to 0} e^{xsin^2x}-1=lim_{x \to 0} xsin^2x \frac{e^{xsin^2x}-1}{xsin^2x}[/math]
a questo punto, volendo, si potrebbe usare per il primo fattore anche il limite notevole
[math]lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1[/math]
Il risultato alla fine è sempre 0, ma hai svolto tutto i passaggi sfruttando solo limiti notevoli.
insule23
insule23 - Sapiens - 529 Punti
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ok allora abbiamo che:
[math]\lim_{x \to 0}\left ( x\, log\left ( 1+x^{2} \right )-2\left ( e^{x\, sin^{2}x} -1\right ) \right )[/math]

ovvero

[math]\lim_{x \to 0} x\, log\left ( 1+x^{2} \right )+\lim_{x \to 0} -2\left ( e^{x\, sin^{2}x} -1\right ) [/math]

per il primo limite si ha:

[math]\lim_{x \to 0} x\, log\left ( 1+x^{2} \right )[/math]

sfruttando il limite notevole

[math]\lim_{x \to 0}\frac{log(1+f(x))}{f(x)}=1[/math]

moltiplichiamo e dividiamo per
[math]x^{2}[/math]

e otteniamo:

[math]\lim_{x \to 0}x^{2}\, x\, \frac{log(1+x^{2})}{x^{2}}=[/math]
[math]\lim_{x \to 0}x^{3}\, \frac{log(1+x^{2})}{x^{2}}=0\cdot 1=0[/math]

mentre per il limite:
[math]lim_{x \to 0} -2\left ( e^{x\, sin^{2}x} -1\right )[/math]

si ha:
[math]-2 lim_{x \to 0} xsin^2x \frac{e^{xsin^2x}-1}{xsin^2x}[/math]

che possiamo riscrivere come, moltiplicando e dividendo per x avendo considerato il limite notevole del seno:
[math]-2 lim_{x \to 0} x^{2 }\, \frac{sinx}{x}\, \frac{sinx}{x}\, \frac{e^{xsin^2x}-1}{xsin^2x} [/math]

[math]=-2\cdot 0\cdot 1\cdot 1\cdot 1=0[/math]

quindi il limite:
[math]\lim_{x \to 0}\left ( x\, log\left ( 1+x^{2} \right )-2\left ( e^{x\, sin^{2}x} -1\right ) \right )[/math]

è uguale a zero...
è giusto???
mentre per il limite
[math]\lim_{x \to 0}e^{\frac{1}{x}}[/math]

è come ho scritto nel primo post...
fatemi sapere...
grazie..
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