Arizar
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Riuscite a risolvermi questo problema??
Disegnare la curva γ di equazione
[math]y=\sqrt{ 1-4x^2} [/math]
;successivamente scritta, l'eqauzione della parabola γ' simmetrico rispetto alla retta x=1/2, passante per (0;1) e ivi tangente alla retta
[math]4x+y-1=0[/math]
, determinare l'area della regione piana limitata da γ e γ'

Questa risposta è stata cambiata da TeM (05-04-14 17:20, 3 anni 5 mesi 18 giorni )
TeM
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Partiamo preliminarmente dall'equazione dell'ellisse di centro l'origine
e di semiassi pari rispettivamente a
[math]\frac{1}{2}[/math]
e
[math]1[/math]
:
[math]\frac{x^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1\\[/math]
.
Sarai d'accordo che tale equazione equivale a
[math]y^2 = 1 - 4x^2[/math]
. Bene,
se è equivalente allora il proprio grafico deve essere lo stesso. Se adesso
applichiamo la radice quadrata ad ambo i membri che succede? Succede
una cosa che dà un po' fastidio, ossia "compare" un odioso segno "più o
meno":
[math]y = \pm\sqrt{1 - 4x^2}[/math]
. Ma quel doppio segno in realtà ci sta
semplicemente ad indicare che se si considera
[math]y = -\sqrt{1 - 4x^2}[/math]
il
grafico di tale funzione coincide alla metà ellisse posta nel semipiano negativo
delle ordinate, mentre se si considera
[math]y = \sqrt{1 - 4x^2}[/math]
(ossia la funzione
in oggetto) il grafico sarà semplicemente la metà ellisse posta nel semipiano
positivo delle ordinate. Come puoi vedere, con delle semplici osservazioni
siamo riusciti a risalire al grafico di tale funzione, ossia alla curva
[math]\gamma[/math]
, senza
svolgere alcun conto. Comodo, vero? :)

Ora lasciamo riposare
[math]\gamma[/math]
e occupiamoci di
[math]\gamma'[/math]
, ossia del grafico di una
parabola del tipo
[math]y = ax^2 + bx + c[/math]
. Innanzitutto tale parabola deve
passare per il punto
[math](0,\,1)[/math]
e quindi deve essere
[math]c = 1[/math]
. Poi deve essere
simmetrica rispetto alla retta
[math]x = \frac{1}{2}[/math]
e quindi ciò comporta che
[math]-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}[/math]
,
ossia
[math]b = -a[/math]
. Infine, nel punto precedente, deve essere tangente alla retta
di equazione cartesiana
[math]y = 1 - 4x[/math]
. Dunque, impostando il sistema
[math]\left\{ y = ax^2 - ax + 1, \; y = 1 - 4x \right\}[/math]
si ottiene la cosiddetta equazione
risolvente
[math]ax^2 + (4-a)x + 0 = 0[/math]
il cui discriminante risulta pari a
[math]\Delta = (4 - a)^2 - 4\,a\,0 = (4 - a)^2[/math]
. Non rimane che imporre la condizione
di tangenza:
[math]\Delta = 0[/math]
per ottenere
[math]a = 4[/math]
. Bene, abbiamo determinato
l'equazione cartesiana della parabola cercata:
[math]y = 4x^2 - 4x + 1[/math]
di vertice
[math]V\left(\frac{1}{2}, \; 0\right)[/math]
e rivolta verso l'alto. Il proprio grafico coincide con la curva
[math]\gamma'\\[/math]
.
Un volta graficate
[math]\gamma[/math]
e
[math]\gamma'[/math]
non è affatto difficile individuare la regione di
piano
[math]D[/math]
racchiusa:


A te il compito di calcolare l'area di
[math]D[/math]
(perlomeno di mostrare i passaggi). ;)
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