deeps
deeps - Ominide - 44 Punti
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devo risolvere alcune equazioni logaritmiche, solamente che temo di sbagliare qualche cosa:

per esempio, nella prima ho:
[log(base,argomento)]

3/(log(2,x)-1)+2/(log(2,x)+1)=2

arrivo ad avere:

log(2,x^3)+log(2,x^2)+1 = log(2,x^2)^2+log(2,x^2)+2log(2,x^-1)-2

ora sostituisco: log(2,x) = y
ma non ottengo il risultato corretto.
può essere così?
grazie! :hi
BIT5
BIT5 - Mito - 28575 Punti
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[math] \frac{3}{\log_2x -1}+ \frac{2}{\log_2x+1}=2 [/math]

Minimo comune multiplo e hai

[math] \frac{3 (\log_2x+1)+2(\log_2x-1)}{\log_2^2x-1}= \frac{2(\log_2^2x-1)}{\log_2^2x-1} [/math]

Eliminiamo il denominatore, avendo cura di porre l'argomento del logaritmo > 0 e il denominatore diverso da zero, quindi

[math] \log_2^2x-1 \ne 0 \to \log_2^2x \ne 1 [/math]

Posto
[math] \log_2 x = t [/math]

Avremo

[math] t^2 \ne 1 \to t \ne \pm 1 [/math]

E quindi

[math] \log_2 x \ne 1 \to \log_2 x \ne \log_2 x \to x \ne +2 [/math]

e

[math] \log_2 x \ne -1 \to \log_2 x \ne \log_2 2^{-1} \to x \ne 2^{-1} \to x \ne \frac12 [/math]

Con x>0

Pertanto l'insieme di definizione dell'equazione sara'

[math] 0<x< \frac12 \cup \frac12<x<2 \cup x>2 [/math]

Eliminiamo il denominatore ottenendo

[math] 3 \log_2 x + 3 + 2 \log_2 x - 2 = 2 \log_2^2x-2 [/math]

Sommiamo i monomi simili e abbiamo

[math] 2 \log_2^2x-5 \log_2x-3=0 [/math]

Qui fai una sostituzione ponendo t=log2 x e ottieni

[math] 2t^2-5t-3=0 [/math]

Da cui

[math] t= \frac{5 \pm \sqrt{25+24}}{4} \to t= \frac{5 \pm 7}{4} [/math]

Ovvero

[math] t=3 \to \log_2x=3 \to \log_2x=\log_22^3 \to x=2^3 \to x=8 [/math]

e

[math] t=- \frac12 \to \log_2x=\log_22^{-\frac12} \to x=2^{-\frac12} \to x=\frac{1}{\sqrt2} [/math]

che razionalizzato dara'
[math] x= \frac{\sqrt2}{2} [/math]

Entrambi i valori sono accettabili in quanto positivi e diversi da 1/2 e da 2.
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