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  • Applicando la regola di Ruffini esegui le seguenti divisioni tra polinomi a coefficienti letterali,ordinando i polinomi prima secondo una variabile poi secondo un altra

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MisterBeen
MisterBeen - Erectus - 51 Punti
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Le divisioni sono queste:
(2x^4+5x^3y-6x^2y^2+2xy^3+3y^4): (2x+3y)
(6a^3-8a^2b^2+5ab^2-8b^3): (2a-b)
(8a^2+2ax-20x^2): (3a-5x)
Basta anche che me ne risolviate una ma l'importante è che mi spiegate bene il metodo perché non so proprio come farle.Grazie!!!!

Aggiunto 22 ore 32 minuti più tardi:

# BIT5 : La prima divisione
[math] (2x^4+5x^3y-6x^2y^2+2xy^3+3y^4) : (2x+3y) [/math]

l'esercizio ti chiede di svolgere la divisione prima in una variabile poi nell'altra.

Questo significa che dovrai considerare prima x come variabile (e pertanto y dovra' essere trattato come fosse un termine noto ovvero un numero qualunque)

Il polinomio e' gia' ordinato secondo le potenze di x (in ordine decrescente)

Ricordando che la divisione di Ruffini ha luogo per un divisore del tipo x-h dovremo:
riscrivere il divisore dividendo per il coefficiente di x del divisore (ovvero 2)

[math] \frac{2x+3y}{2} \to x+ \frac32 y [/math]

Dividere anche il polinomio dunque per 2
[math] x^4+ \frac52x^3y-3x^2y^2+xy^3+ \frac32 y^4 [/math]

A questo punto possiamo procedere con la divisione di Ruffini, senza dimenticare che alla fine sia il resto che il risultato dovranno essere moltiplicati per 2 (ovvero per il coefficiente di x del divisore)

Infatti non stiamo dividendo per il divisore originario, ma per la sua meta'.

Quindi otterremo un risultato che sara' il doppio del risultato corretto

(Per fartela breve, un esempio con i numeri.. Se dobbiamo dividere, ad esempio, 27 : 4, se decidiamo di dividere per 2 otteniamo un risultato che e' il doppio di quello che cercavamo (infatti dividiamo per meta' di quello per cui dobbiamo dividere)

Se facciao 30 : 4 otteniamo come risultato 7 CON RESTO 2

Se dividiamo 15 : 2 otteniamo 7 CON RESTO 1

Il resto alla fine dovra' essere rimoltiplicato per 2 in quanto dividendo per 2 divisore e dividendo otteniamo lo stesso quoziente (risultato della divisione (pensa al fatto che ad esempio, 30/20 = 15/10 perche' se dividiamo dividendo e divisore per la stessa quantita' il risultato non cambia)ma il resto, con questo artificio, si dimezza)

Spero di essere riuscito a chiarirti le idee su questo particolare, che algebricamente si spiega cosi':

un polinomio p(x) si calcola moltiplicando il divisore d(x) e il quoziente q(x) a cui aggiungeremo il resto r(x)

Quindi

[math] p(x)={d(x)} \cdot q(x)+R(x) [/math]

Dividiamo per un coefficiente "a" tutto quanto (dove il coefficiente a e' un numero qualunque diverso da zero, nel nostro caso il coefficiente della x del divisore)
[math] \frac{p(x)}{a}= \frac{d(x) \cdot q(x)}{a}+R(x)/a [/math]

E dunque tale scrittura e' analoga a
[math] \frac{p(x)}{a}= \frac{d(x)}{a} \cdot q(x) + R(x)/a [/math]

Pertanto come noti, dividendo per a sia il polinomio che il divisore, il quoziente rimane tale ma il resto, invece, rimane diviso per a.. Per ottenere il resto corretto, alla fine della divisione, sara' sufficiente rimoltiplicarlo per a.

Aggiunto 28 minuti più tardi:

Eseguiamo dunque la divisione , utilizzando dividendo e divisore opportunamente divisi per 2 (ribadisco, perche' 2 e' il coefficiente di x del divisore)

Strutturiamo la tabella di Ruffini riportando:
in alto sulla riga iniziale I COEFFICIENTI DI X ordinati (solo i coefficienti... quindi tutto quello che non e' x) e in basso a sinistra il termine noto deo divisore cambiato di segno (nel nostro caso il divisore e' x+3/2y pertanto riporteremo -3/2y

[math] \begin{array}{c|cccc|c} \\
&1& \frac52 y & -3y^2 & y^3 & \frac32y^4 \\
\\
\\
- \frac32 y&&&&\\
\\
\\
\\
\\
\hline
&&&&\\
\end{array} [/math]

Abbassiamo il primo coefficiente (1)
[math] \begin{array}{c|cccc|c} \\
&1& \frac52 y & -3y^2 & y^3 & \frac32y^4 \\
\\
\\
- \frac32 y&&&&\\
\\
\\
\\
\\
\hline
&1&&&\\
\end{array} [/math]

E moltiplichiamo il termine "abbassato" per -3/2y (e quindi 1 per -3/2y=-3/2y) riportando il risultato sotto il secondo coefficiente
[math] \begin{array}{c|cccc|c} \\
&1& \frac52 y & -3y^2 & y^3 & \frac32y^4 \\
\\
\\
- \frac32 y&&- \frac32y&&\\
\\
\\
\\
\\
\hline
&1&&&\\
\end{array} [/math]

Sommiamo in verticale [5/2y+(-3/2y)=2/2y=y] riportando il risultato in basso
[math] \begin{array}{c|cccc|c} \\
&1& \frac52 y & -3y^2 & y^3 & \frac32y^4 \\
\\
\\
- \frac32 y&&- \frac32y&&\\
\\
\\
\\
\\
\hline
&1&y&&\\
\end{array} [/math]

Ricominciamo: moltiplichiamo il nuovo termine y sempre per -3/2y (ottenendo -3/2y^2) e riportiamo il risultato sotto il successivo coefficiente del polinomio
[math] \begin{array}{c|cccc|c} \\
&1& \frac52 y & -3y^2 & y^3 & \frac32y^4 \\
\\
\\
- \frac32 y&&- \frac32y&- \frac32 y^2&\\
\\
\\
\\
\\
\hline
&1&y&&\\
\end{array} [/math]

Risommiamo in verticale -3y^2+(-3/2y^2)=-6/2y^2-3/2y^2=-9/2y^2
[math] \begin{array}{c|cccc|c} \\
&1& \frac52 y & -3y^2 & y^3 & \frac32y^4 \\
\\
\\
- \frac32 y&&- \frac32y&- \frac32 y^2&\\
\\
\\
\\
\\
\hline
&1&y&- \frac92 y^2&\\
\end{array} [/math]

Rimoltiplichiamo -9/2y^2 e -3/2y ottenendo +27/4y^3, che riscriviamo incolonnato sotto il coefficiente successivo, sommiamo y^3+27/4y^3=31/4y^3 (che scriviamo in basso) rimoltiplichiamo per -3/2y ottenendo -93/4y^4 che riscriviamo nell'ultima colonna e sommiamo.

Alla fine avremo

[math] \begin{array}{c|cccc|c} \\
&1& \frac52 y & -3y^2 & y^3 & \frac32y^4 \\
\\
\\
- \frac32 y&&- \frac32y&- \frac32 y^2&+ \frac{27}{4}y^3 & - \frac{93}{8}y^4\\
\\
\\
\\
\\
\hline
&1&y&- \frac92 y^2& \frac{31}{4}y^3 & - \frac{81}{8}y^4\\
\end{array} [/math]

I 4 termini in basso nella griglia rappresentano i coefficienti ordinati del nuovo polinomio (pertanto 31/4y^3 sara' il termine noto, -9/2y^2 il coefficiente di x, y il coefficiente di x^2 e 1 il coefficiente di x^3) mentre 105/8y^4 sara' il nuovo resto che moltiplicheremo per 2.

Pertanto il risultato della divisione sara':

[math] x^3+x^2y- \frac92xy^2+ \frac{31}{4}y^3 [/math]
con resto di
[math] - \frac{81}{4}y^4 [/math]

Per verificare che il tutto sia corretto bastera' effettuare l'operazione contraria, ovvero moltiplicare il risultato per il divisore e aggiungere il resto, ovvero eseguire la seguente operazione:
[math] (x^3+x^2y- \frac92xy^2+ \frac{31}{4}y^3) \cdot (x+ \frac32 y) + \(- \frac{81}{4}y^4 \) [/math]

Il risultato sara' il polinomio iniziale e pertanto la divisione e' stata eseguita correttamente.

Aggiunto 5 minuti più tardi:

Per svolgere l'esercizio nella variabile y dovremo:

Riscrivere il polinomio ordinato questa volta secondo le potenze di y:

[math] p(y)=3y^4+2xy^3-6x^2y^2+5x^3y+x^4 [/math]

E anche il divisore
[math] d(y)=3y+2x [/math]

Dividiamo sia il polinomio che il divisore per 3 (coefficiente della y al divisore)
[math] p'(y)=y^4+ \frac23 xy^3-2x^2y^2+ \frac53 x^3y+ \frac13x^4 [/math]

e
[math] d'(y)= y+ \frac23 x [/math]

Impostiamo la griglia di Ruffini
[math] \begin{array}{c|cccc|c} \\
&1& \frac23 x & -2x^2 & \frac53x^3 & \frac13x^4 \\
\\
\\
- \frac23x
\\
\\
\\
\\
\hline
&1&&\\
\end{array} [/math]

e da qui esegui come sopra.

ricorderai di moltiplicare il resto, questa volta, per 3


Ok grazie 1000...ho capito come si fanno ma in questa divisione:(6a^3-8a^2b^2+5ab^2-8b^3): (2a-b) b^2 viene ripetuto due volte anche se cambio il valore di a...come procedo? fammi solo la tabella se puoi la spiegazione non mi serve

BIT5
BIT5 - Mito - 28572 Punti
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La prima divisione

[math] (2x^4+5x^3y-6x^2y^2+2xy^3+3y^4) : (2x+3y) [/math]

l'esercizio ti chiede di svolgere la divisione prima in una variabile poi nell'altra.

Questo significa che dovrai considerare prima x come variabile (e pertanto y dovra' essere trattato come fosse un termine noto ovvero un numero qualunque)

Il polinomio e' gia' ordinato secondo le potenze di x (in ordine decrescente)

Ricordando che la divisione di Ruffini ha luogo per un divisore del tipo x-h dovremo:
riscrivere il divisore dividendo per il coefficiente di x del divisore (ovvero 2)

[math] \frac{2x+3y}{2} \to x+ \frac32 y [/math]

Dividere anche il polinomio dunque per 2

[math] x^4+ \frac52x^3y-3x^2y^2+xy^3+ \frac32 y^4 [/math]

A questo punto possiamo procedere con la divisione di Ruffini, senza dimenticare che alla fine sia il resto che il risultato dovranno essere moltiplicati per 2 (ovvero per il coefficiente di x del divisore)

Infatti non stiamo dividendo per il divisore originario, ma per la sua meta'.

Quindi otterremo un risultato che sara' il doppio del risultato corretto

(Per fartela breve, un esempio con i numeri.. Se dobbiamo dividere, ad esempio, 27 : 4, se decidiamo di dividere per 2 otteniamo un risultato che e' il doppio di quello che cercavamo (infatti dividiamo per meta' di quello per cui dobbiamo dividere)

Se facciao 30 : 4 otteniamo come risultato 7 CON RESTO 2

Se dividiamo 15 : 2 otteniamo 7 CON RESTO 1

Il resto alla fine dovra' essere rimoltiplicato per 2 in quanto dividendo per 2 divisore e dividendo otteniamo lo stesso quoziente (risultato della divisione (pensa al fatto che ad esempio, 30/20 = 15/10 perche' se dividiamo dividendo e divisore per la stessa quantita' il risultato non cambia)ma il resto, con questo artificio, si dimezza)

Spero di essere riuscito a chiarirti le idee su questo particolare, che algebricamente si spiega cosi':

un polinomio p(x) si calcola moltiplicando il divisore d(x) e il quoziente q(x) a cui aggiungeremo il resto r(x)

Quindi

[math] p(x)={d(x)} \cdot q(x)+R(x) [/math]

Dividiamo per un coefficiente "a" tutto quanto (dove il coefficiente a e' un numero qualunque diverso da zero, nel nostro caso il coefficiente della x del divisore)

[math] \frac{p(x)}{a}= \frac{d(x) \cdot q(x)}{a}+R(x)/a [/math]

E dunque tale scrittura e' analoga a

[math] \frac{p(x)}{a}= \frac{d(x)}{a} \cdot q(x) + R(x)/a [/math]

Pertanto come noti, dividendo per a sia il polinomio che il divisore, il quoziente rimane tale ma il resto, invece, rimane diviso per a.. Per ottenere il resto corretto, alla fine della divisione, sara' sufficiente rimoltiplicarlo per a.

Aggiunto 28 minuti più tardi:

Eseguiamo dunque la divisione , utilizzando dividendo e divisore opportunamente divisi per 2 (ribadisco, perche' 2 e' il coefficiente di x del divisore)

Strutturiamo la tabella di Ruffini riportando:
in alto sulla riga iniziale I COEFFICIENTI DI X ordinati (solo i coefficienti... quindi tutto quello che non e' x) e in basso a sinistra il termine noto deo divisore cambiato di segno (nel nostro caso il divisore e' x+3/2y pertanto riporteremo -3/2y

[math] \begin{array}{c|cccc|c} \\
&1& \frac52 y & -3y^2 & y^3 & \frac32y^4 \\
\\
\\
- \frac32 y&&&&\\
\\
\\
\\
\\
\hline
&&&&\\
\end{array} [/math]

Abbassiamo il primo coefficiente (1)

[math] \begin{array}{c|cccc|c} \\
&1& \frac52 y & -3y^2 & y^3 & \frac32y^4 \\
\\
\\
- \frac32 y&&&&\\
\\
\\
\\
\\
\hline
&1&&&\\
\end{array} [/math]

E moltiplichiamo il termine "abbassato" per -3/2y (e quindi 1 per -3/2y=-3/2y) riportando il risultato sotto il secondo coefficiente

[math] \begin{array}{c|cccc|c} \\
&1& \frac52 y & -3y^2 & y^3 & \frac32y^4 \\
\\
\\
- \frac32 y&&- \frac32y&&\\
\\
\\
\\
\\
\hline
&1&&&\\
\end{array} [/math]

Sommiamo in verticale [5/2y+(-3/2y)=2/2y=y] riportando il risultato in basso

[math] \begin{array}{c|cccc|c} \\
&1& \frac52 y & -3y^2 & y^3 & \frac32y^4 \\
\\
\\
- \frac32 y&&- \frac32y&&\\
\\
\\
\\
\\
\hline
&1&y&&\\
\end{array} [/math]

Ricominciamo: moltiplichiamo il nuovo termine y sempre per -3/2y (ottenendo -3/2y^2) e riportiamo il risultato sotto il successivo coefficiente del polinomio

[math] \begin{array}{c|cccc|c} \\
&1& \frac52 y & -3y^2 & y^3 & \frac32y^4 \\
\\
\\
- \frac32 y&&- \frac32y&- \frac32 y^2&\\
\\
\\
\\
\\
\hline
&1&y&&\\
\end{array} [/math]

Risommiamo in verticale -3y^2+(-3/2y^2)=-6/2y^2-3/2y^2=-9/2y^2

[math] \begin{array}{c|cccc|c} \\
&1& \frac52 y & -3y^2 & y^3 & \frac32y^4 \\
\\
\\
- \frac32 y&&- \frac32y&- \frac32 y^2&\\
\\
\\
\\
\\
\hline
&1&y&- \frac92 y^2&\\
\end{array} [/math]

Rimoltiplichiamo -9/2y^2 e -3/2y ottenendo +27/4y^3, che riscriviamo incolonnato sotto il coefficiente successivo, sommiamo y^3+27/4y^3=31/4y^3 (che scriviamo in basso) rimoltiplichiamo per -3/2y ottenendo -93/4y^4 che riscriviamo nell'ultima colonna e sommiamo.

Alla fine avremo

[math] \begin{array}{c|cccc|c} \\
&1& \frac52 y & -3y^2 & y^3 & \frac32y^4 \\
\\
\\
- \frac32 y&&- \frac32y&- \frac32 y^2&+ \frac{27}{4}y^3 & - \frac{93}{8}y^4\\
\\
\\
\\
\\
\hline
&1&y&- \frac92 y^2& \frac{31}{4}y^3 & - \frac{81}{8}y^4\\
\end{array} [/math]

I 4 termini in basso nella griglia rappresentano i coefficienti ordinati del nuovo polinomio (pertanto 31/4y^3 sara' il termine noto, -9/2y^2 il coefficiente di x, y il coefficiente di x^2 e 1 il coefficiente di x^3) mentre 105/8y^4 sara' il nuovo resto che moltiplicheremo per 2.

Pertanto il risultato della divisione sara':

[math] x^3+x^2y- \frac92xy^2+ \frac{31}{4}y^3 [/math]
con resto di
[math] - \frac{81}{4}y^4 [/math]

Per verificare che il tutto sia corretto bastera' effettuare l'operazione contraria, ovvero moltiplicare il risultato per il divisore e aggiungere il resto, ovvero eseguire la seguente operazione:

[math] (x^3+x^2y- \frac92xy^2+ \frac{31}{4}y^3) \cdot (x+ \frac32 y) + \(- \frac{81}{4}y^4 \) [/math]

Il risultato sara' il polinomio iniziale e pertanto la divisione e' stata eseguita correttamente.

Aggiunto 5 minuti più tardi:

Per svolgere l'esercizio nella variabile y dovremo:

Riscrivere il polinomio ordinato questa volta secondo le potenze di y:

[math] p(y)=3y^4+2xy^3-6x^2y^2+5x^3y+x^4 [/math]

E anche il divisore

[math] d(y)=3y+2x [/math]

Dividiamo sia il polinomio che il divisore per 3 (coefficiente della y al divisore)

[math] p'(y)=y^4+ \frac23 xy^3-2x^2y^2+ \frac53 x^3y+ \frac13x^4 [/math]

e

[math] d'(y)= y+ \frac23 x [/math]

Impostiamo la griglia di Ruffini

[math] \begin{array}{c|cccc|c} \\
&1& \frac23 x & -2x^2 & \frac53x^3 & \frac13x^4 \\
\\
\\
- \frac23x
\\
\\
\\
\\
\hline
&1&&\\
\end{array} [/math]

e da qui esegui come sopra.

ricorderai di moltiplicare il resto, questa volta, per 3
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