mirk95
mirk95 - Sapiens - 539 Punti
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ciao a tutti, ho altri test che non mi sono venuti..
1). data l'equazione ax^2+by^2=c, una sola delle seguenti affermazioni è falsa, quale?
A. l'equazione rappresenta un'ellisse se e solo se a,b,c appartengono a R+.
B. l'equazione rappresenta un'ellisse se e solo se a,b,c sono concordi.
C. se a=c=4 e b=1, l'equazione rappresenta un'ellisse i cui fuochi hanno coordinate (0;radicedi3)e (0;- radicedi3).
D. se c=1 e a>b>1, l'equazione rappresenta un'ellisse con i fuochi sull'asse y.
F. se a=b e a*c>0, l'equazione rappresenta una circonferenza.

2). Data l'ellisse di equazione x^2/a^2 + y^2/a^2 =1, una sola delle seguenti proposizioni è vera, quale?
A. l'eccentricità è radicedi3 /4.
B. i fuochi si trovano sull'asse x.
C. se a=1, la curva passa per (1; -1/2).
D. se un fuoco ha coordinate (- radicedi3;0) allora a=4.
E. un vertice ha coordinate (1/2a;0).

3). considera l'ellisse di equazione x^2/2 + y^2/18 =1. Una sola delle seguenti proposizioni è falsa, quale?
A. i fuochi hanno coordinate (0;4) e (0;-4).
B. l'ellisse ha come tangente nel suo punto del primo quadrante di ascissa 1 la retta di equazione 3x+y-6=0.
C. l'asse maggiore è triplo dell'asse minore.
D. se si trasla l'ellisse in modo che il centro sia (-2;0), l'equazione della curva è 9x^2+y^2+36x+18=0

Grazie in anticipo...
Ali Q
Ali Q - Mito - 23941 Punti
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Soluzioni:

1). data l'equazione ax^2+by^2=c, una sola delle seguenti affermazioni è falsa, quale?

Per ridurre tutto alla forma canonica dell'ellisse possiamo divide tutto per c:
[math](a/c)x^2 + (b/c)y^2 = 1[/math]
A questo punto risulta che:
[math]A^2 = (c/a)[/math]
[math]B^2 = (c/b)[/math]

Vediamo le opzioni presenti:

A. l'equazione rappresenta un'ellisse se e solo se a,b,c appartengono a R+.
Non è vero: è sufficiente che siano positivi i loro rapporti (giacchè i loor rapporti dovrebbero rappresentare quantità al quadrato), ma a, b e c potrebbero anche essere tutti quanti negativi.

B. l'equazione rappresenta un'ellisse se e solo se a,b,c sono concordi.
Questa è vera: un quadrato non può essere negativo, dunque se a,b e c fossero discordi questa equazione non potrebbe essere quella di una ellisse.

C. se a=c=4 e b=1, l'equazione rappresenta un'ellisse i cui fuochi hanno coordinate (0;radicedi3)e (0;- radicedi3).

In questo caso risulta:
[math]A^2 = (c/a)= 1[/math]
[math]B^2 = (c/b) = 4[/math]

Poichè
[math]A^2 < B^2[/math]
allora i fuochi si trovano effettivamente sull'asse delle ordinate come indicato. Vediamo il valore di questa ordinata.
C = \sqrt{B^2 - A^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}
Questa affermazione è vera.

D. se c=1 e a>b>1, l'equazione rappresenta un'ellisse con i fuochi sull'asse y.

In questo caso risulta:
[math]A^2 = (c/a)= 1/a[/math]
[math]B^2 = (c/b) = 1/b[/math]

Poichè a>b, allora
[math]A^2<B^2[/math]
, quiandi i fuochi stanno sull'asse delle ordinate.
F. se a=b e a*c>0, l'equazione rappresenta una circonferenza.

L'equazione d'origine era:
[math]ax^2+by^2=c[/math]
Se a = b, allora:
[math]ax^2+ay^2-c = 0[/math]
Divido tutto per a:
[math]x^2+y^2-c/a = 0[/math]

[math]a*c>0[/math]
, vuol dire che c ed a sono concordi. La quantità -c/a è effettivamente negativa, e quindi si tratta di una circonferenza.
Anche quest'ultima affermazione è vera.

Un attimo e posto anche le altre soluzioni!

Aggiunto 20 minuti più tardi:

2). Data l'ellisse di equazione x^2/a^2 + y^2/a^2 =1, una sola delle seguenti proposizioni è vera, quale?

Abbiamo A^2 = B^2 = a^2
Ricaviamo il valore di C.
C = \sqrt{A^2 - B^2} = 0

Vediamo le opzioni presenti:

A. l'eccentricità è radicedi3 /4.
Falso: l'eccentricità è pari a C/A = 0

B. i fuochi si trovano sull'asse x.
Vero, perchè avranno coordinate (0,0)

C. se a=1, la curva passa per (1; -1/2).
L'equazione risulta essere:
[math]x^2/a^2 + y^2/a^2 =1[/math]
[math]x^2 + y^2 =1[/math]

Sostituisco le coordinate del punto:
[math]1 +1/4 = 1[/math]
Falso: il punto non appartiene alla curva.

D. se un fuoco ha coordinate (- radicedi3;0) allora a=4.
Falso: abbiamo visto prima che, indipendentemente dal valore di a, C 8ccordinata del fuoco) è sempre pari a 0.

E. un vertice ha coordinate (1/2a;0).
Falso: i vertici hanno coordinate
[math](a,0); (-a,0)[/math]
oppure
[math](0,a); (0,-a)[/math]

3). considera l'ellisse di equazione x^2/2 + y^2/18 =1. Una sola delle seguenti proposizioni è falsa, quale?

Quest'esercizio mi lascia un po' perplessa, nel senso che mi tornerebbero tutte quante opzioni vere. Le posto comunque, Mirko, così puoi confrontarle con le tue soluzioni e magari capire se ho fatto qualche sbaglio nell'eseguire i calcoli.

Vediamo le opzioni:

A. i fuochi hanno coordinate (0;4) e (0;-4).
[math]A^2 = 2[/math]
[math]B^2 = 18[/math]

[math]A^2<B^2[/math]
, quinid i fuochi stanno effettivamente sull'asse y.
[math]C = \sqrt{B^2 - A^2} = C = \sqrt{18 - 2} = \sqrt{16} = 4[/math]

Questa risposta è vera.

B. l'ellisse ha come tangente nel suo punto del primo quadrante di ascissa 1 la retta di equazione 3x+y-6=0.

Mettimao a sistema le due equazioni:
[math]x^2/2 + y^2/18 =1[/math]
[math]Y = -3x + 6[/math]

Sostituisco la seconda nella prima:
[math]x^2/2 + (-3x + 6)^2/18 = 1[/math]
Moltiplico tutto per 18:
[math]9 x^2 + (-3x+6)^2 = 18[/math]
[math]9 x^2 + 9x^2 + 36 -36 x = 18[/math]
[math]18 x^2 -36 x + 18 = 0[/math]
[math] x^2 -2 x + 1 = 0[/math]

[math]Delta = 4-4 = 0[/math]
(la condizione di tangenza è rispettata: vedimao in quale punto avviene)
[math]x = 2/2 = 1[/math]
y vale allora:
[math]Y = -3x + 6 = -3 + 6 = 3[/math]

Anche questa è vera.

C. l'asse maggiore è triplo dell'asse minore.
[math]Asse maggiore = 2B = 2*\sqrt{18}= 2*3*\sqrt{2}[/math]
[math]Asse minore = 2A = 2*\sqrt{2}[/math]

Asse maggiore/Asse minore =
[math](2*3*\sqrt{2})/(2*\sqrt{2})= 3[/math]

Questa opzione è vera.

D. se si trasla l'ellisse in modo che il centro sia (-2;0), l'equazione della curva è 9x^2+y^2+36x+18=0

Infatti verrebbe che:
y' = y
x' = x -2 cioè
[math]x = x'+ 2[/math]

Sostiutisco nell'equazione:
[math]x^2/2 + y^2/18 = 1[/math]
[math](x' +2)^2/2 + y'^2 /18 = 1[/math]
[math]9(x' +2)^2 + y'^2 = 18[/math]
[math]9x'^2 + 36 + 36 x + y'^2 = 18[/math]

[math]9x'^2 + y'^2 = 18[/math]
[math]9x'^2 + 36 x + y'^2 + 18 = 0[/math]

Fine. Ciao!
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