the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Eccomi a ritormentarvi.

Ho la mia bella f(x):

[math]f(x)=(|x|-1)\cdot e^{\frac{1}{x+1}}[/math]

Ecco il mio limite è questo:

[math]\lim_{x\right -1^+}\; (|x|-1)\cdot e^{\frac{1}{x+1}}[/math]

Che posso scrivere:

[math]\lim_{x\right -1^+}\; (-x-1)\cdot e^{\frac{1}{x+1}}[/math]

Non riesco a trovare una via di fuga, mi ritrovo sempre in forme indeterminate.

Aggiunto 8 minuti più tardi:

Pongo:

[math]x=\frac{1-logt}{logt}[/math]

Ottengo:

[math]\lim_{t\right +\infty}\(\frac{logt-1}{logt}-1\)\cdot t[/math]

[math]\lim_{t\right +\infty}\; -\frac{t}{logt}[/math]

De l'Hopital:

[math]\lim_{t\right +\infty}\;\;-\frac{1}{\frac{1}{t}}=\lim_{t\right +\infty}\;\; -t =-\infty[/math]

Yuppi!!
ciampax
ciampax - Tutor - 29255 Punti
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Ti do una soluzione alternativa senza de l'Hopital: poni

[math]\frac{1}{x+1}=t[/math]
da cui
[math]t\rightarrow +\infty[/math]
e quindi
[math]\lim_{t\rightarrow+\infty}\left(-\frac{1}{t}+1-1\right) e^{t}=
\lim_{t\rightarrow-\infty}-\frac{e^t}{t}=-\infty[/math]

dal momento che
[math]e^t[/math]
è un infinito maggiore di ogni potenza di
[math]t[/math]
.
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Ma non dovrei dimostrare che
[math]e^t>t^{\alpha}[/math]
?? O si dà per accertato che
[math]e^t[/math]
sia maggiore delle potenze di
[math]t[/math]
?
Perché anche come l'ho risolto io, alla fine senza usare de l'Hopital, potrei aver detto ugualmente che
[math]log(t)<t^{\alpha}[/math]
???
I due ragionamenti mi sembrano simili, no?

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Mmmm... nel secondo limite t tende sempre a
[math]+\infty[/math]
giusto?
Mi pare ovvio, ma chiedo per scaramanzia. :)
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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1) quando hai un limite nella forma 0*infinito puoi sempre ricondurti al caso 0/0 o inf/inf e quindi usare l'hopital per la risoluzione. nel tuo esercizio, la sostituzione che ha fatto ciampax non era necessaria anche se era una soluzione elegante: bastava infatti porre -x-1 = 1/[(-x-1)^-1], e dunque ottenevi e^(1/x+1) / (-x-1)^-1. usando l'hopital giungevi alla soluzione. in ogni caso t tende a +inf

2) si dà per noto che la funzione esponenziale cresce più rapidamente di qualsiasi altra funzione, e questo deriva proprio dallo studio dei limiti con l'hopital: le funzioni del tipo a^x non cambiano il loro ordine di infinito neanche derivandole infinite volte, a differenza di qualsiasi altra funzione
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