mattybraghin98
mattybraghin98 - Ominide - 4 Punti
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Considera l'ellisse di equazione
[math]x^2+4y^2=4[/math]
. Siano A e B (con xA<xB) i suoi punti di intersezione con l'asse x. Considera dunque un trapezio ABCD, inscritto nell'ellisse, avente i vertici C e D rispettivamente nel primo e nel secondo quadrante. Indica con y l'area del trapezio ABCD ed esprimi y in funzione dell'ascissa x del vertice C. Traccia il grafico della funzione ottenuta, indipendentemente dalle limitazioni geometriche, mettendo in evidenza il tratto relativo al problema
Grazie in anticipooo :))
mc2
mc2 - Genius - 14793 Punti
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La retta CD ha equazione y=k, con 0<k<1


I punti C e D si trovano intersecando retta ed ellisse:

[math]x^2+4k^2=4[/math]

[math]x^2=4(1-k^2)[/math]


[math]C(2\sqrt{1-k^2},~k)[/math]
,
[math]D(-2\sqrt{1-k^2},~k)[/math]

Il trapezio ABCD ha altezza k, le due basi sono
[math]AB=4[/math]
e
[math]CD=4\sqrt{1-k^2}[/math]

Area del trapezio:

[math]S=\frac{1}{2}(4+4\sqrt{1-k^2})k=2k(1+\sqrt{1-k^2})[/math]

Posto
[math]x=2\sqrt{1-k^2}[/math]
(ascissa di C)
si ha

[math]x^2=4(1-k^2)[/math]
,
[math]k=\sqrt{1-\frac{1}{4}x^2}[/math]

quindi la funzione da studiare e`

[math]y=2\sqrt{1-\frac{1}{4}x^2}(1+\frac{x}{2})=\frac{1}{2}(2+x)\sqrt{4-x^2}[/math]

il suo dominio e` -2 < x < 2, mentre la parte che riguarda il problema e` 0 < x < 2 .

Per lo studio di funzione prova a procedere da solo, se hai difficolta` torna qui
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