caterina.the.best96
caterina.the.best96 - Ominide - 7 Punti
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Data la funzione y=x^4-4x^2+5 determinare, mediante le derivate, i punti di massimo, di minimo, di flesso, gli intervalli in cui la funzione è crescente, gli intervalli in cui la funzione è decrescente, gli intervalli in cui la concavità è rivolta verso l'alto e gli intervalli in cui la concavità è rivolta verso il basso (Non ha asintoti). Abbozzare una rappresentazione grafica.
mc2
mc2 - Genius - 14841 Punti
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[math]f(x)=x^4-4x^2+5[/math]

Osserviamo che la funzione e` pari:
[math]f(-x)=f(x)[/math]

Derivate:

[math]f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)[/math]

[math]f''(x)=12x^2-8=4(3x^2-2)[/math]


Zeri della derivata prima:

[math]f'(x)=0~~\Leftrightarrow~~ x=0,~x=\pm\sqrt{2}[/math]

Segni della derivata prima:

[math]f'(x)>0~~\Leftrightarrow~~ -\sqrt{2} < x < 0,~~~x > \sqrt{2}[/math]

I punti di minimo sono :
[math](\pm\sqrt{2},1)[/math]

Il punto di massimo e`
[math](0,5)[/math]


Zeri della derivata seconda:
[math]f''(x)>0~~\Leftrightarrow~~ x=\pm\sqrt{2/3}[/math]

Studio dei segni della derivata seconda:

[math]f''(x)>0~~\Leftrightarrow~~ x<-\sqrt{2/3} ,~~~x > \sqrt{2/3}[/math]

I punti di flesso sono
[math]\left(\pm\sqrt{\frac{2}{3}},\frac{25}{9}\right)[/math]
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