sa949
sa949 - Ominide - 4 Punti
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Ragazzi domani si ritorna a scuola e non riesco a risolvere due problemi di geometria... chi mi aiuta?
1)E data una circonferenza di centro O e i segmenti AB e AC condotto da un punto esterno A, tangenti a questa circonferenza, formano fra loro un angolo di 120°. Confrontare i segmenti AO,AB,AC. Si coniugano i punti B e C con il punto medio M di AO. Di che natura è il quadrilatero di natura ABMC? Che relazione intercorre tra le distanze dei punti O e A della retta BC?
2)Due circonferenze di centri O e O' sono tangenti esternamente nel punto A. Si conducano la tangente in A e una retta tangente alle due circonferenze rispettivamente in B e in C. Sia D L' intersezione delle due tangenti.
1) Dimostrare che AD=1/2 BC, che D è il punto medio di BC e dedurre che BAC è retto.
2) Dimostrare che ODO' è retto
3) Dal punto D si conduca la perpendicolare BC che incontri OO' nel punto E; Dimostrare che OO' = 2DE

BIT5
BIT5 - Mito - 28575 Punti
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Unisci il punto A al centro della circonferenza.

Traccia i segmenti OB e OC e il segmento CB, chiama K il punto di intersezione tra AO e BC

Consideriamo:

AKB e AKC sono due triangoli rettangoli (la congiungente il punto esterno al centro e' sempre perpendicolare alla corda dei punti di tangenza; Inoltre la congiungente il punto esterno e il centro seca la corda nel punto medio ed e' ad essa perpendicolare)
AB=AC perche' da un punto esterno la distanza del punto esterno dai punti di tangenza e' sempre congruente;

OB=OC perche' raggi

I due triangoli inoltre sono congruenti, rettangoli in K, ipotenusa AB=CB, KC=KB, angoli 30,60,90 (gli angoli in A sono meta' dell'angolo intero)

I triangoli AOB e AOC sono anch'essi congruenti, in quanto condividono OA, retti in B e C (raggio perpendicolare alla tangente) e sono anch'essi di 30,60,90

Quindi AB=AC perche' due tangenti dallo stesso punto

AO>AB perche' ipotenusa del triangolo ABO

Considera infine il triangolo ABO.

e' un triangolo 30,60,90,meta' di un triangolo equilatero.

Del triangolo equilatero conosci l'altezza che e' il raggio.

Pertanto sapendo che l'altezza di un triangolo equilatero di lato l e'

[math] h= \frac{l}{2} \sqrt3[/math]

E sai che e' = al raggio, allora
[math] r= \frac{l}{2}\sqrt3 \to l= \frac{2r}{\sqrt3} = \frac23r \sqrt3 [/math]

Razionalizzato.

Quindi

[math]AB= \frac23r \sqrt3 [/math]

Mentre
[math] AO = \frac13r \sqrt3 [/math]
in quanto e' la meta' del lato del triangolo equilatero.
Il quadrilatero e' un quadrilatero concavo, avente come lato AM il raggio
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