ale.tzunny
ale.tzunny - Habilis - 267 Punti
Salva

Mi aiutate a risolvere questi tre problemi...
Grazie
P.s. non ho ancora fatto le derivate

mc2
mc2 - Genius - 14190 Punti
Salva

543.

Troviamo i punti A e B sostituendo le reispettive ascisse nell'equazione della parabola: A(1,2), B(6,12)

La retta AB ha equazione:

[math]\frac{y-2}{12-2}=\frac{x-1}{6-1}[/math]
, facendo i calcoli si trova y=2x.
L'area del segmento parabolico di solito si calcola con un'integrale, ma se tu non hai ancora fatto le derivate... allora bisogna usare il teorema di Archimede: l'area del segmento parabolico e` i 2/3 dell'area del parallelogramma circoscritto.

Bisogna trovare la retta parallela ad AB e tangente alla parabola, cioe` una retta della forma

[math]y=2x+q[/math]
che abbia in comune con la parabola un punto doppio:
[math]\left\{
\begin{array}{l} y=x^2-5x+6 \\ y=2x\end{array} \right.
[/math]
Sostituendo si trova l'equazione
[math]x^2-7x+6-q=0[/math]
e imponendo che il discriminante sia nullo (in modo che abbia soluzioni coincidenti) si trova q=-25/4. Quindi la retta cercata e` y=2x-25/4 (retta CD in figura)
Per ricavare l'area del parallelogramma ABDC bisogna calcolare la lunghezza della base AB e l'altezza, cioe` la distanza del punto A dalla retta CD.
[math]AB={5\sqrt{5}}[/math]

[math]altezza=\frac{5\sqrt{5}}{4}[/math]

[math]A_{ABDC}=5\sqrt{5}\frac{5\sqrt{5}}{4}=\frac{125}{4}[/math]

Area del segmento parabolico:
[math]A=\frac{2}{3}A_{ABDC}=\frac{125}{6}[/math]

Aggiunto 22 minuti più tardi:

Per trovare le rette r ed s si segue un procedimento simile.

La retta r tangente in A alla parabola e` una generica retta passante per A:
y-2=m(x-1) cioe` y=mx-m+2

[math]\left\{
\begin{array}{l}
y=x^2-5x+6 \\
y=mx-m+2\end{array}\right.
[/math]

[math]x^2-(5+m)x+4+m=0[/math]

Si impone
[math]\Delta=0[/math]
:
[math](5+m)^2-4(4+m)=0[/math]
, facendo i calcoli si trova m=-3, quindi la retta r ha equazione
[math]y=-3x+5[/math]

Analogamente si procede per trovare la retta s, e si trova s: y=7x-30

Il punto C e` l'intersezione tra r e s:


[math]\left\{
\begin{array}{l}
y=-3x+5 \\
y=7x-30\end{array}\right.
[/math]

Risolvendo il sistema si trova
[math]C(\frac{7}{2},-\frac{11}{2})[/math]

Per calcolare l'area del triangolo ABC basta calcolare l'altezza, cioe` la distanza di C dalla retta AB (la base AB l'abbiamo calcolata prima).
[math]H=\frac{5\sqrt{5}}{2}[/math]
per cui l'area del triangolo e`
[math]A_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot H=\frac{125}{4}[/math]

Ti ho scritto i risultati con pochi passaggi. Prova a fare i calcoli da solo e se non ti vengono chiedi.

Aggiunto 47 minuti più tardi:

532.

Parabola generica con asse verticale:

[math]y=ax^2+bx+c[/math]

Deve passare per C(-2,-5): -5=4a-2b+c
Deve passare per D(0,3): 3=c

Sostituendo nella prima equazione: -5=4a-2b+3, cioe` b=2a+4

Usiamo queste informazioni per semplificare un po' l'equazione della parabola:

[math]y=ax^2+(2a+4)x+3[/math]

Le coordinate del vertice sono
[math]x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{2a+4}{2a}=-\frac{a+2}{a}[/math]

e
[math]y_V=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{12a-(2a+4)^2}{4a}=\frac{-a^2-a-4}{a}[/math]

Il vertice deve stare sulla retta y=2x+2, quindi:
[math]\frac{-a^2-a-4}{a}=-2\frac{a+2}{a}+2[/math]

[math]a^2+a=0[/math]

La soluzione a=0 non e` accettabile (non e` una parabola!), mentre la soluzione a=-1 va bene.

La parabola richiesta e`

[math]y=-x^2+2x+3[/math]
ed il suo vertice e` V(1,4) (che sta sulla retta data).

I punti A e B sono l'intersezione della parabola con l'asse x: A(-1,0), B(3,0)

La tangente in A alla parabola ha equazione del tipo: y=m(x+1) ed il coefficiente m si trova imponendo la condizione di tangenza (si fa il sistema tra la retta e la parabola, si sostituisce la y in modo da avere un'eq. di secondo grado e si impone il discriminante=0): m=4. La tangente in A e` y=4x+4

La retta verticale passante per B e`: x=3.

P e` l'intersezione tra queste due retta: P(3,16)

Il punto medio di PB e` M(3,8)

La retta AV e`: x=\frac{3}{2}(x-1) e si verifica facilmente che il punto P vi appartiene.


Osservazione:

Se avessimo scambiato i punti A e B, scrivendo A(3,0) e B(-1,0), ovviamente l'equazione della tangente in A sarebbe risultata diversa, ed anche le coordinate di P. Ma la proprieta` enunciata vale lo stesso: AV passa per il punto medio di PB (perche` la parabola e` simmetrica rispetto al suo asse!)

ale.tzunny
ale.tzunny - Habilis - 267 Punti
Salva

Grazie mille

Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
"Chi se ne frega della scuola": la presentazione del libro di Skuola.net

Lascia un messaggio ai conduttori Vai alla pagina TV

In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di agosto
Vincitori di agosto

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

Jacko

Jacko Geek 3824 Punti

VIP
Registrati via email