alex80
alex80 - Ominide - 13 Punti
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.nel triangolo ABC rettangolo in A il punto p di AB dista 15 da B ed il punto Q di AC dista 75 da C. la distanza PH di P da BC misura 12. determinare la distanza QK di Q da BC . il segmento PQ misura 65. determinare il perimetro del triangolo ABC e l'area del trapezio PHKQ
RISULTATI: 45- 300- 1596
Max 2433/BO
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Consideriamo i triangoli PBH e CQK, per il I° criterio di similitudine sono simili:

Angolo PHB = Angolo QKC (retto pero costruzione: PH distanza dal punto P a BC e QK distanza del punto Q da BC)

visto che PH // QK (in quanto entrambe perpendicolari a BC) e entrambe secano due segmenti tra loro perpendicolari (rispettivamente AB e AC) per il teorema delle rette parallele tagliate da trasversale (applicato a più riprese) abbiamo che:

Angolo BPH = Angolo KCQ

e, di conseguenza

Angolo KQC = Angolo PBH

... possiamo mettere allora in proporzione i lati ordinatamente corrispondenti:

BP:QC = PH:KC

15:75 = 12:KC

KC = (12*75)/15 = 60

Applicando il t. di Pitagora tra QC e KC possiamo ricavare la misura di QK:

[math] QK = \sqrt {QC^2-KC^2} = \sqrt {75^2-60^2} = 45 [/math]

Ricaviamo l'altezza del trapezio PHKQ che, in pratica, rappresenta il segmento HK dell'ipotenusa BC.

la proiezione di PQ su QK (che chiameremo QR) è la differenza tra QK e PH:

QR = QK - PH = 45 - 12 = 33

Applichiamo il t. di Pitagora tra PQ e QR e ricaviamo la misura di HK:

[math] HK = \sqrt {pq^2 - qr^2} = \sqrt {65^2 - 33^2} = 56 [/math]

Volendo a questo punto abbiamo già tutti i dati per ricavare l'area del trapezio:

[math] A = \frac {(QK + PH)\;.\;HK}{2} = \frac {(45 + 12)\;.\;56}{2} = 1596 [/math]

Applichiamo per la terza volta il t. di Pitagora, questa volta tra BP e PH per ricavare l'ultimo pezzo mancante di BC, e cioè BH:

[math] BH = \sqrt {BP^2 - PH^2} = \sqrt {15^2 - 12^2} = 9 [/math]

di conseguenza avremo che

BC = BH + HK + KC = 9 + 56 + 60 = 125

I triangoli ABC e KQC (ma anche HBP) sono simili per il I° criterio di similitudine in quanto hanno gli angoli ordinatamente uguali, quindi possiamo scrivere:

QC:BC = QK:AB

e

QC:BC = KC:AC

ricavando

AB = (BC*QK)/QC = (125*45)/75 = 75

AC = (BC*KC)/QC = (125*60)/75 = 100

in definitiva il perimetro del triangolo ABC sarà:

P = AB + BC + AC = 75 + 125 + 100 = 300

... ecco fatto!

:hi

Massimiliano
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