Vuchi
Vuchi - Ominide - 39 Punti
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Nel parallelogramma ABCD conduci dal vertice B una retta b che interseca il lato opposto CD in E. dimostra che il triangolo BCE è isoscele su BE se e solo se il segmento BE è bisettrice dell'angolo del parallelogramma di vertice B.

Prolunga i lati opposti SR e PQ del parallelogramma PQRS di due segmenti RR' e PP' tali che RR'=PP'. Detto V il centro del parallelogramma, dimostra che i triangoli VRR' e VPP' sono congruenti. Come si fanno?

mc2
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Problema 1


Bisogna fare due dimostrazioni:


Primo caso:

Ipotesi: il triangolo BCE è isoscele su BE, cioe` CE=BE e inoltre

[math]E\hat{B}C=B\hat{E}C[/math]

Tesi: il segmento BE è bisettrice dell'angolo del parallelogramma di vertice B, cioe`
[math]E\hat{B}C=E\hat{B}A[/math]

Dimostrazione:

Nel triangolo CEB:

[math]E\hat{B}C+B\hat{C}E+C\hat{E}B=\pi[/math]

Nel parallelogramma ABCD:
[math]C\hat{B}A+B\hat{A}D+A\hat{D}C+D\hat{C}B=2\pi[/math]

Inoltre
[math]A\hat{D}E=C\hat{B}A=E\hat{B}A+B\hat{C}E[/math]
e
[math]E\hat{C}B=B\hat{A}D[/math]

per cui sostituendo nell'equazione in blu:


[math]E\hat{B}A+B\hat{C}E+E\hat{C}B+E\hat{B}A+B\hat{C}E+D\hat{C}B=2\pi\\
2(E\hat{B}A+B\hat{C}E+E\hat{C}B)=2\pi\\
E\hat{B}A+B\hat{C}E+E\hat{C}B=\pi
[/math]

e dal confronto con la prima equazione si ottiene:
[math]E\hat{B}A=E\hat{B}C[/math]
, c.v.d.
Aggiunto 14 minuti più tardi:

Secondo caso:

Ipotesi: il segmento BE è bisettrice dell'angolo del parallelogramma di vertice B, cioe`

[math]E\hat{B̂}C=E\hat{B̂}A[/math]

Tesi: il triangolo BCE è isoscele su BE


Dimostrazione:

considero le parallele DC e AB, tagliate dalla trasversale EB:

[math]C\hat{E}B=E\hat{B}A[/math]
di conseguenza
[math]E\hat{B̂}C=C\hat{E}B[/math]
ed il triangolo ECB e` isoscele

Aggiunto 17 minuti più tardi:

Secondo problema:

[math]P\hat{V}P'=R\hat{V}R'[/math]
perche' opposti al vertice
[math]V\hat{P}P'=V\hat{R}R'[/math]
perche` alterni interni alle parallele PQ e SR tagliate da PR
PP'=RR' per ipotesi....
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