francescoblu
francescoblu - Erectus - 50 Punti
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risolvi l'equazione (cosx=a)
2cos(x+pgreco/6)- radice 3 =0
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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[math]2cos(x+\frac{\pi}{6})-\sqrt3=0[/math]
.
.
ricordando che
cos(A + B) = cosA*cosB - senA*senB
[math]2(cosx*cos\frac{\pi}{6}-senx*sen\frac{\pi}{6})=\sqrt3\\2(cosx*\frac{\sqrt3}{2}-senx*\frac{1}{2})=\sqrt3\\\sqrt{3}cosx-senx=\sqrt3\\senx=\sqrt{3}cosx-\sqrt3\\senx=\sqrt3(cosx-1)\\\\ricordando\ che\\sen^2=1-cos^2\\eleviamo\ al\ quadrato\\(senx)^2=[\sqrt3(cosx-1)]^2\\sen^2x=3(cos^2x+1-2cosx)\\e\ sostituiamo\\1-cos^2x=3cos^2x+3-6cosx\\4cos^2x-6cosx+2=0\\2cos^2x-3cosx+1=0\\cos_1x=\frac{1}{2}\\cos_2x=1[/math]
.
.
salvo errori ed omissioni (controlla i calcoli)
Ricorda che, avendo elevato al quadrato entrambi i membri di una equazione, questa si è "innalzata" di grado, quindi potremmo avere aggiunto delle soluzioni (una eq. di primo grado ammette al massimo UNA soluzione mentre una eq. di secondo grado può avere DUE soluzioni).
Per questo motivo E' OBBLIGATORIO verificare TUTTE le soluzioni NEL TESTO ORIGINARIO dell'equazione e scartare quella (o quelle) che non la soddisfano.
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Niente da eccepire, ma avrei usato un metodo più semplice: l'equazione è equivalente a

[math]\cos y=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad y=x+\frac{\pi}{6}[/math]


Pertanto si hanno le soluzioni

[math]y=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\qquad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/math]


e quindi, essendo
[math]x=y-\pi/6[/math]
si ha

[math]x=2k\pi,\qquad y=\frac{2\pi}{3}+2k\pi[/math]
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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Concordo pienamente con ciampax, anzi ripensandoci ho preso un abbaglio e ho commesso l'errore di non guardare meglio, prima di buttarmi a capofitto nei calcoli. Probabilmente sono un po' arrugginito sulle equazioni (tri)goniometriche.
Se posso permettermi voto la sua come miglior risposta.
Colgo l'occasione per consigliare francescoblu di fare tesoro di questo per le prossime occasioni e ringraziare ciampax per l'ottima soluzione.
Carlo
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