luca.colella.58
luca.colella.58 - Ominide - 46 Punti
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2=log3 x - 8 logx 3
3= 14/(log5 x+2)+ 4/(log5 x -1)
(Log2 x^2)^2+9log2 x +2=0
Con variabile ausiliare
nRT
nRT - Moderatore - 3301 Punti
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Ciao,
facciamo un esempio con la prima equazione, per capire come funziona.

Premessa
Prima di tutto chiariamo la scrittura. Quello che hai scritto equivale a:

[math]
2 = \log(3) \cdot x - 8 \log(x) \cdot 3 \\
[/math]


che però presenta soluzioni con numeri non usuali per questo tipo di esercizi e mi fa pensare a un errore di scrittura.

Penso allora che tu intenda questo:

[math]2 = \log_3(x) - 8 \log_x(3)[/math]


In questo caso, se non vuoi usare LaTeX, ti consiglio di usare il trattino basso «_» per indicare il pedice:

2 = log_3(x) - 8 log_x(3)

in modo che non ci siano ambiguità di interpretazione.


Risoluzione
Presa dunque questa equazione,

[math]
2 = \log_3(x) - 8 \log_x(3) \\
[/math]


cominciamo col porre le condizioni di esistenza:

[math]x > 0 \land x \neq 1 \\[/math]


Notiamo subito che abbiamo due logaritmi con due basi diverse, con basi
[math]3[/math]
e
[math]x[/math]
rispettivamente. Scegliamo di cambiare base al secondo logaritmo:
[math]
2 = \log_3(x) - \frac{8}{\log_3(x)} \\
[/math]


A questo punto, per semplificare la risoluzione dell'equazione, poniamo:

[math]\log_3(x) = t, \ \ t \neq 0 \\[/math]


E risolviamo:

[math]
2 = t - \frac{8}{t} \\
2 = \frac{t^2 - 8}{t} \\
t^2 - 2t - 8 = 0 \\
t_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + 8} \\
t = -2 \lor t = 4 \\
\log_3(x) = -2 \lor \log_3(x) = 4 \\
x = 3^{-2} \lor x = 3^4 \\
x = \frac{1}{9} \lor x = 81 \\
[/math]


E così abbiamo trovato le due soluzioni.
Spero ti sia stato d'aiuto. Se qualcosa non è chiaro, o se hai problemi con le successive equazioni chiedi pure. :)
Ciao
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