Stefystef
Stefystef - Erectus - 95 Punti
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Ciao a tutti...avrei bisogno di un aiuto con questo problema:

Dopo aver verificato che la funzione y=k/x (con k appartenente a R escluso 0), ha due asintoti,provare che il triangolo,avente per lati i due asintoti e la tangente in un punto qualsiasi P del grafico, ha area costante(cioè indipendente dal punto P).

Grazie a tutti anticipatamente :)

Aggiunto 22 ore 49 minuti più tardi:

Grazie mille BIT5... alla prossima :)
BIT5
BIT5 - Mito - 28447 Punti
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Per verificare che la funzione abbia asintoto orizzontale:

[math] \lim_{x \to \infty} \frac{k}{x} = 0 [/math]

e dunque y=0 e' asintoto orizzontale.

Per l'asintoto verticale, dopo aver verificato che esiste un punto di discontinuita' in x=0, calcoli

[math] \lim_{x \to 0^+} \frac{k}{x} = \frac{k}{0^+} = + \infty [/math]

E analogamente per - infinito la funzione tende a - infinito e pertanto x=0 e' asintoto verticale.

Sappiamo che la retta tangente ad una funzione in un suo punto ha sempre pendenza = alla derivata della funzione in quel punto.

Calcoliamo dunque la derivata prima

[math] y'= - \frac{k}{x^2} [/math]

e pertanto la retta tangente, detto
[math] P (x_P , y_P) [/math]
il punto di tangenza, avra' equazione generica
[math] y=- \frac{k}{x_P^2} x + q [/math]

Ma siccome il punto di tangenza e' anche un punto della funzione, sara' vero che detta
[math] x_P [/math]
l'ascissa generica del putno di tangenza alla funzione, la retta passera' per il punto
[math] P ( x_P , \frac{k}{x_P} ) [/math]
in quanto il punto di tangenza soddisfera' l'equazione della funzione.
La retta passera' per quel punto, pertanto sara' vero che, ribadendo l'equazione della retta tangente generica:

[math] y=- \frac{k}{x_P^2} x + q [/math]

le coordinate del punto dovranno essere soddisfatte dalla retta (che passa per quel punto) e pertanto

[math] \frac{k}{x_P} = - \frac{k}{x_P^2} x_P + q \to q= \frac{2k}{x_P} [/math]

E pertanto tutte le rette tangenti alla funzione, stabilite le coordinate del punto di tangenza, avranno equazione

[math] y=- \frac{k}{x_P^2} x + \frac{2k}{x_P} [/math]

Il triangolo (rettangolo) avra' i cateti che giacciono sugli asintoti.

I punti di intersezione della retta generica con gli assi saranno:

[math] x=0 \to y= \frac{2k}{x_P} [/math]

[math] y=0 \to - \frac{k}{x_P^2} x + \frac{2k}{x_P}=0 \to x=2x_P [/math]

E dunque l'area del triangolo sara'

[math] \frac12 \cdot \frac{2k}{x_P} \cdot 2 x_P = 2k [/math]

Che pertanto non dipende dall'ascissa del punto scelto come punto di tangenza, ma solo dal valore di k
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