alex80
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UN GRAZIE IN ANTICIPO A CHI RISPONDERà (PER LA COMPLESSITà DEL PROBLEMA)


è dato il triangolo ABC ottusangolo in B con AB cm 12 ed AC=24. il punto P di AB e il punto Q di AC sono tali che AP=AQ; la corda PQ è lunga cm 4 per radice di 2 .sapendo che il segmento AP è medio proporzionale tra BP e CQ , determinare il perimetro dei triangoli APQ e ABC.(porre AP=AQ=x). RISULTATI:4(4+ RADICE DI 2); 12(3+RADICE DI 2)
Anthrax606
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Sappiamo che AP è medio proporzionale tra BP e CQ, per cui possiamo scrivere la proporzione:

BP:AP = AP:CQ

ma

BP = AB - AP = 12 - AP

CQ = AC - AQ = 24 - AQ

ed essendo AP=AQ

CQ = 24 - AP

sostituendo nella proporzione otteniamo:

(12-AP):AP = AP: (24-AP)

moltiplichiamo medi ed estremi

(12-AP)(24-AP) = AP^2

288 - 12AP - 24AP + AP^2 = AP^2

riduciamo e separiamo i termini in AP dai numeri

-36AP = -288

da cui

AP = 288/36 = 8 cm

Il perimetro del triangolo APQ è quindi pari a:

PAPQ=AP+AQ+PQ=2.8+4.2√=4.(4+2√)cm
Conduciamo la parallela a PQ in B, ottenendo il punto k all'intersezione con AC.

Il triangolo ABK è simile al triangolo APQ per il primo criterio (essendo BK // PQ per costruzione, gli angoli interni dei due triangoli sono ordinatamente congruenti).

Di conseguenza possiamo mettere i lati ordinatamente in proporzione:

AP:AB = PQ:BK

ricaviamo BK

BK=AB∗PQAP=12.4.2√8=6.2√cm
Da notare che se i due triangoli sono simili essendo AP=AQ, allora anche AB sarà uguale a AK, ma essendo AB = 12 cm e AC = 24 cm, ne deriva che il segmento BK è la mediana del triangolo ABC relativa al lato AC.

Possiamo allora ricorrere alla formula della mediana per calolare la misura del lato mancante:

BK=12.2.(BC2+AB2)−AC2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
eleviamo tutto al quadrato ed otteniamo

BK2=14.2.(BC2+AB2)−AC2
da cui ricaviamo che BC vale

BC=4.BK2−2.AB2+AC22−−−−−−−−−−−−−−√
BC=4.72−2∗144+5762−−−−−−−−−−−−√=12.2√cm
e da qui ti puoi ricavare tranquillamente il perimetro anche del triangolo ABC.

Se vedi hanno fatto la tua stessa domanda qui:
https://www.skuola.net/forum/matematica/problema-di-geometria-103989.html

ed ha risposto Max, ed è ottima la sua risposta!
alex80
alex80 - Ominide - 13 Punti
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grazieeee!
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