1 Scrivere l'eq. della circonf. passante per l'origine, ivi tangente alla retta 2x+3y=0 e avente il centro sulla retta x+2y-2=0
2 Scrivere l'eq della circonf. tangente all'asse x e passante per i punti (1;2); (3;4).
3 Scrivere le eq delle circonf. tangenti agli assi del sistema di riferimento e aventi il centro sulla retta x-2y+3=0.
Grazie mille a chi li farà :-)
- Matematica - Superiori
-
3 problemini circonf.
Problema 1)
L'equazione di una circonferenza passante per l'origine è
Le coordinate del centro della circonferenza sono
e poiché il centro sta sulla retta x+2y-2=0 deve essere
Dall'equazione 2x+3y=0 ricaviamo y=-2/3 x, da cui sostituendo nell'equazione della circonferenza
e quindi
Imponendo al discriminante di tale equazione di essere nullo, otteniamo
da cui
Problema 2)
Dall'equazione
Poiché la circonferenza è tangente alla retta y=0, allora
Dalle prime due equazioni si trova
da cui
le cui soluzioni sono
Le equazioni sono pertanto
Problema 3)
La condizione che il centro
Le condizioni di tangenza impongono che
da cui imponendo che i discriminanti siano nulli
dalla prima equazione
le cui soluzioni sono
Abbiamo allora
e le equazioni
Questa risposta è stata cambiata da ciampax (08-05-07 23:37, 11 anni 5 mesi 18 giorni )
L'equazione di una circonferenza passante per l'origine è
[math]x^2+y^2+ax+by=0[/math]
Le coordinate del centro della circonferenza sono
[math]C(-a/2,-b/2)[/math]
e poiché il centro sta sulla retta x+2y-2=0 deve essere
[math]-a/2-b-2=0\Rightarrow a=-2b-4[/math]
Dall'equazione 2x+3y=0 ricaviamo y=-2/3 x, da cui sostituendo nell'equazione della circonferenza
[math]x^2+\frac{4}{9}x^2-(2b+4)x-\frac{2b}{3}x=0[/math]
e quindi
[math]13x^2-12(2b+3)x=0[/math]
Imponendo al discriminante di tale equazione di essere nullo, otteniamo
[math]144(2b+3)^2=0\Rightarrow b=-3/2[/math]
da cui
[math]a=-1[/math]
e l'equazione della circonferenza[math]x^2+y^2-x-\frac{3}{2}y=0[/math]
.Problema 2)
Dall'equazione
[math]x^2+y^2+ax+by+c=0[/math]
sostituendo i valori dei punti otteniamo[math]a+2b+c=-5[/math]
[math]3a+4b+c=-25[/math]
Poiché la circonferenza è tangente alla retta y=0, allora
[math]x^2+ax+c=0[/math]
e imponendo che il discriminante sia nullo[math]a^-4c=0\Rightarrow c=a^2/4[/math]
Dalle prime due equazioni si trova
[math]4a+8b+a^2=-20\qquad 12a+16b+a^2=-100[/math]
da cui
[math]a^2-4a-60=0[/math]
le cui soluzioni sono
[math]a=10, a=-6[/math]
da cui, essendo pure, sempre dalle prime due[math]b=-a-10[/math]
[math]b=-20, b=-4[/math]
[math]c=25, c=9[/math]
Le equazioni sono pertanto
[math]x^2+y^2+10x-20y+25=0[/math]
[math]x^2+y^2-6x-4y+9=0[/math]
Problema 3)
La condizione che il centro
[math]C(-a/2,-b/2)[/math]
giaccia sulla retta equivale a dire che[math]-a/2+b+3=0\Rightarrow a=2b+6[/math]
Le condizioni di tangenza impongono che
[math]x^2+ax+c=0,\qquad y^2+by+c=0[/math]
da cui imponendo che i discriminanti siano nulli
[math]a^2-4c=0,\qquad b^2-4c=0\Rightarrow a^2=b^2,\quad c=b^2/4[/math]
dalla prima equazione
[math]4b^2+24b+36=b^2\Rightarrow b^2+8b+9=0[/math]
le cui soluzioni sono
[math]b=-6, b=-2[/math]
Abbiamo allora
[math]a=-6, a=2[/math]
[math]c=9, c=1[/math]
e le equazioni
[math]x^2+y^2-6x-6y+9=0[/math]
[math]x^2+y^2+2x-2y+1=0[/math]
Questa risposta è stata cambiata da ciampax (08-05-07 23:37, 11 anni 5 mesi 18 giorni )
2 Scrivere l'eq della circonf. tangente all'asse x e passante per i punti (1;2); (3;4).
Allora intanto mettiamo a sistema l'equazione generica della circonferenza e l'equazione dell'asse
Pertanto avremo:
L'equazione risolvente del sistema sarà:
e ponendo
Questa è una delle tre condizioni da porre a sistema assieme al passaggio per i due punti in modo da poter ricavare i coefficienti dell'equazione della circonferenza.
Avremo pertanto:
Le due equazioni saranno dunque:
Allora intanto mettiamo a sistema l'equazione generica della circonferenza e l'equazione dell'asse
[math]x[/math]
.Pertanto avremo:
[math]\begin{cases} x^2 + y^2 +\alpha x +\beta y +\gamma= 0 \\
y= 0
\end{cases} [/math]
y= 0
\end{cases} [/math]
L'equazione risolvente del sistema sarà:
[math] x^2 +\alpha x +\gamma= 0[/math]
e ponendo
[math]\Delta=0[/math]
(Condizione di tangenza)[math]\alpha^2 - 4\gamma = 0[/math]
Questa è una delle tre condizioni da porre a sistema assieme al passaggio per i due punti in modo da poter ricavare i coefficienti dell'equazione della circonferenza.
Avremo pertanto:
[math]\begin{cases} \alpha^2 - 4\gamma = 0 \\
1 + 4 + \alpha + 2\beta + \gamma = 0 \\
9 + 16 + 3\alpha + 4\beta + \gamma = 0
\end{cases} [/math]
1 + 4 + \alpha + 2\beta + \gamma = 0 \\
9 + 16 + 3\alpha + 4\beta + \gamma = 0
\end{cases} [/math]
[math]\begin{cases} \alpha^2 - 4\gamma = 0 \\
\gamma = -\alpha - 2\beta - 5 \\
3\alpha + 4\beta -\alpha - 2\beta - 5 + 25 = 0
\end{cases} [/math]
\gamma = -\alpha - 2\beta - 5 \\
3\alpha + 4\beta -\alpha - 2\beta - 5 + 25 = 0
\end{cases} [/math]
[math]\begin{cases} \alpha^2 - 4\gamma = 0 \\
\gamma = -\alpha - 2\beta - 5 \\
2\alpha + 2\beta + 20 = 0
\end{cases} [/math]
\gamma = -\alpha - 2\beta - 5 \\
2\alpha + 2\beta + 20 = 0
\end{cases} [/math]
[math]\begin{cases} \alpha^2 - 4\gamma = 0 \\
\gamma = -\alpha - 2\beta - 5 \\
\alpha = -\beta - 10
\end{cases} [/math]
\gamma = -\alpha - 2\beta - 5 \\
\alpha = -\beta - 10
\end{cases} [/math]
[math]\begin{cases} \alpha^2 - 4\gamma = 0 \\
\gamma = +\beta + 10 - 2\beta - 5 \\
\alpha = -\beta - 10
\end{cases} [/math]
\gamma = +\beta + 10 - 2\beta - 5 \\
\alpha = -\beta - 10
\end{cases} [/math]
[math]\begin{cases} \alpha^2 - 4\gamma = 0 \\
\gamma = -\beta + 5 \\
\alpha = -\beta - 10
\end{cases} [/math]
\gamma = -\beta + 5 \\
\alpha = -\beta - 10
\end{cases} [/math]
[math]\begin{cases} \beta^2 + 100 + 20\beta +4\beta - 20= 0 \\
\gamma = -\beta + 5 \\
\alpha = -\beta - 10
\end{cases} [/math]
\gamma = -\beta + 5 \\
\alpha = -\beta - 10
\end{cases} [/math]
[math]\begin{cases} \beta^2 + 24\beta +80= 0 \\
\gamma = -\beta + 5 \\
\alpha = -\beta - 10
\end{cases} [/math]
\gamma = -\beta + 5 \\
\alpha = -\beta - 10
\end{cases} [/math]
[math]\begin{cases} \beta_1 = -20 \\
\gamma = 25 \\
\alpha = 10
\end{cases} [/math]
\gamma = 25 \\
\alpha = 10
\end{cases} [/math]
[math]\begin{cases} \beta_1 = -4 \\
\gamma = 9 \\
\alpha = -6
\end{cases} [/math]
\gamma = 9 \\
\alpha = -6
\end{cases} [/math]
Le due equazioni saranno dunque:
[math]1) x^2 + y^2 - 20x + 25y + 10 \\
2) x^ + y^2 - 4x + 9y - 6[/math]
2) x^ + y^2 - 4x + 9y - 6[/math]
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