saretta6996
saretta6996 - Ominide - 19 Punti
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Ciao a tutti, ecco un altro esercizio di probabilità e statistica!


Siano X ed Y distribuite congiuntamente su [0,2] x [0,2] secondo la legge
f(x,y) = c(xy² + x³y).
Computare E(X), E(Y) e Cov(X,Y). Le variabili sono indipendenti?
davi02
davi02 - Sapiens Sapiens - 1079 Punti
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[math]f(x,y) = c(xy^2 + x^3y)[/math]
è la densità di probabilità congiunta, per cui se
[math]A[/math]
è una parte del quadrato
[math][0,2] \times [0,2][/math]
, allora l’integrale
[math]
\iint_A f(x,y)dxdy
[/math]

dà la probabilità dell'evento
[math]A[/math]
.
La costante
[math]c = 3/40[/math]
si ottiene normalizzando
[math]
\int_0^2 \int_0^2 f(x,y)dxdy = 40c/3 = 1.
[/math]

La densità di probabilità di
[math]X[/math]
è
[math]
g(x) = \int_0^2 f(x,y)dy = (3x^3 + 4x)/20
[/math]

La densità di probabilità di
[math]Y[/math]
è
[math]
h(y) = \int_0^2 f(x,y)dx = (3y^2 + 6y)/20
[/math]

[math]
E(X) = \int_0^2 xg(x)dx = 112/75
[/math]

[math]
E(Y) = \int_0^2 yh(y)dy = 7/5
[/math]

[math]
E(XY) = \int_0^2 \int_0^2 xyf(x,y)dxy = 52/25
[/math]

[math]
Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = -4/375
[/math]

[math]X, Y[/math]
non sono indipendenti perché
[math]f(x,y) \not{=} g(x)h(y)[/math]
, e anche perché
[math]Cov(X,Y) \not{=} 0[/math]
.

ciao
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