lukine96
lukine96 - Ominide - 34 Punti
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Ciao a tutti. Qualcuno potrebbe spiegarmi come risolvere questa equazione complessa?

[math]2z^4 = i (\overline{z} )^2 |z|[/math]

Grazie mille in anticipo
mc2
mc2 - Genius - 14217 Punti
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Scrivi:
[math]z=\rho \,e^{i\varphi}[/math]
, per cui
[math]\overline{z}=\rho \,e^{-i\varphi}[/math]
e
[math]|z|=\rho[/math]

L'equazione data diventa:

[math]2\rho^4\,e^{4i\varphi}=i\rho^2\,e^{-2i\varphi}\,\rho[/math]

che ammette la soluzione
[math]\rho=0[/math]
(cioe` z=0).

Semplificando si ottiene l'altra soluzione:

[math]2\rho\,e^{4i\varphi}=ie^{-2i\varphi}[/math]

[math]\rho\,e^{6i\varphi}=\frac{1}{2}i=\frac{1}{2}\,e^{i\pi/2}[/math]

quindi
[math]\rho=\frac{1}{2}[/math]
,
e
[math]6i\varphi=i\frac{\pi}{2}[/math]
,
[math]\varphi=\pi/12[/math]

la soluzione e` :

[math]z=\frac{1}{2}\,e^{i\pi/12}=\frac{\cos(\pi/12)+i\sin(\pi/12)}{2}[/math]
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