dribusen
dribusen - Habilis - 175 Punti
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salve a tutti ragazzi..allora vi scrivo direttamente il testo dell'esercizio..x me ce un errore:
determinare una base ortonormale
[math](v_1, v_2, v_3)[/math]
di
[math]R^3[/math]
sapendo che
(1)
[math]v_1[/math]
= ( 1/
[math]\sqrt{3}[/math]
, 1/
[math]\sqrt{3}[/math]
, 1/
[math]\sqrt{3}[/math]
)
[math]^t[/math]

(2)
[math]v_2 = ( x_1 , x_2 , x_3)^t[/math]
soddisfa
[math]x_1 + x_2 - 2x_3 =0[/math]

(3) l'angolo tra
[math] v_2[/math]
e
[math]e_1[/math]
= ( 1 0 0)
[math]^t[/math]
è acuto
allora per i primi due punti non ci sono problemi. nel terzo secondo voi è giusto
[math]v_2[/math]
o ci va
[math]v_3[/math]
? e se è giusto che significa?
grazie mille a tutti:):)
ciampax
ciampax - Tutor - 29252 Punti
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Non mi sembra una richiesta errata: quello che fornisce l'esercizio, in pratica, è solo la forma dei primi due vettori mentre il terzo va determinato. La richiesta al punto 2) implica che per il secondo vettore tu debba avere

[math]v_2=(-\alpha+2\beta,\alpha,\beta)[/math]

e dal momento che alla fine vuoi ottenere una terna ortonormale, puoi aggiungere la condizione
[math]|v_2|=\sqrt{2\alpha^2-4\alpha\beta+5\beta^2}=1[/math]
.
Dalla terza richiesta, sfruttando la definizione di prodotto scalare collegata al coseno dell'angolo compreso tra due vettori

[math]0<\cos\theta=\frac{-\alpha+2\beta}{|v_2|\cdot|e_1|}< 1[/math]

Questa condizione equivale al sistema, ricordando che i due moduli precedenti sono entrambi pari a 1

[math]\left\{\begin{array}{l}
-\alpha+2\beta>0\\ -\alpha+2\beta<1
\end{array}\right.[/math]


Ora, tralasciando queste richieste, bisogna determinare un terzo vettore
[math]v_3[/math]
che sia ortogonale agli altri due e sia anche di modulo 1. Usando il prodotto scalare e scrivendo
[math]v_3=(x,y,z)[/math]
ottieni

[math]v_1\bullet v_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(x+y+z)=0,\ v_2\bullet v_3=(-\alpha+2\beta)x+\alpha y+\beta z=0,\\ |v_3|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=1[/math]


Queste tre equazioni ti permettono di trovare i valori delle componenti del terzo vettore in termini di
[math]\alpha,\ \beta[/math]
: a quel punto, dovrai solo determinare i valori ammissibili di essi affinché tu possa costruire il sistema ortogonale (ti faccio osservare che le tre condizioni precedenti per tali coefficienti implicano che essi, se disegni un piano cartesiano, si trovino sulla ellisse di equazione
[math]2\alpha^2-4\alpha\beta+5\beta^2=1[/math]
nella parte compresa tra le due rette
[math]\alpha=2\beta,\ \alpha=2\beta-1[/math]
)
dribusen
dribusen - Habilis - 175 Punti
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hmm....in teoria ho capito...dopo provo a fare tutti conti e ti faccio sapere:) grazie mille:)
ciampax
ciampax - Tutor - 29252 Punti
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Ok, se hai problemi fammi sapere.
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