stagnomaur
stagnomaur - Ominide - 7 Punti
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Ciao, qualcuno riesce a darmi degli input su come svolgere questo esercizio? Magari il procedimento, per quanto riguarda i calcoli mi arrangio da solo.. Grazie mille in anticipo!
Estrarre una base B dal seguente sistema di generatori per R3:
H = {(1, 2, 3),(4, −1, 5),(−3, 3, −2),(6, 3, 11),(0, 1, 1)}
Determinare poi le componenti dei vettori u = (7, 3, 12) e v = (11, −3, 14) rispetto
alla base B; determinare infine il vettore w ≡B(−1, 1, 5)

davi02
davi02 - Sapiens Sapiens - 1079 Punti
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Ammettendo che H sia un sistema di generatori, si tratta di trovare in H tre vettori linearmente indipendenti: parti dal primo e cominci ad aggiungere o togliere uno alla volta gli altri.

-----------------------

(1, 2, 3) --> ok, perché diverso da (0, 0, 0)

-----------------------

(1, 2, 3), (4, −1, 5) --> ok, perché la matrice

1, 2, 3
4, −1, 5

ha rango 2

-----------------------

(1, 2, 3), (4, −1, 5), (−3, 3, −2) --> no, perché la matrice

1, 2, 3
4, −1, 5
−3, 3, −2

ha rango 2 (det = 0)

-----------------------

(1, 2, 3), (4, −1, 5), (6, 3, 11) --> no, perché la matrice

1, 2, 3
4, −1, 5
6, 3, 11

ha rango 2 (det = 0)

-----------------------

(1, 2, 3), (4, −1, 5), (0, 1, 1) --> ok, perché la matrice

1, 2, 3
4, −1, 5
0, 1, 1

ha rango 3 (det ≠ 0)

-----------------------

Quindi

B = ((1, 2, 3), (4, −1, 5), (0, 1, 1))

Le componenti a, b, c di u = (7, 3, 12) nella base B si trovano riscrivendo
(7, 3, 12) = a(1, 2, 3) + b(4, −1, 5) + c(0, 1, 1)
come sistema di 3 equazioni in tre incognite
a + 4b = 7
ecc.
Analogamente per il vettore v.

w ≡ B(−1, 1, 5) = –1(1, 2, 3) + 1(4, −1, 5) + 5(0, 1, 1) = (3, 2, 7)

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