paniko992
paniko992 - Ominide - 5 Punti
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Salve io ho questo quesito da risolvere:
Determinare lo sviluppo in serie di Fourier della funzione f aventi le seguenti proprietà:
- f è una funzione 2piGreco periodica;
- f è una funzione pari f(x)=f(-x);
- 1) f(x)=7x se x appartiene a [0,piGreco];
2) f(x)=-4x + cos(x) se x appartiene a [0,piGreco];
sono due esercizi uguali con due funzioni diverse che io ho provato a risolvere partendo dallo sviluppo di Fourier:
f(x)=a0 / 2 + sommatoria per n che va da 1 a infinito di(an*cos(nx) + bn*sin(nx)). Da cui:
a0= 1 / piGreco + integrale fra -piGreco e piGreco di(f(x)dx);
an= 1 / piGreco + integrale fra -piGreco e piGreco di(f(x)*cos(nx)dx);
bn= 1 / piGreco + integrale fra -piGreco e piGreco di(f(x)*sin(nx)dx);

è ho fatto le seguenti considerazioni:
1) Dato che la funzioni è pari bn=0;
2) Dato che la funzione è pari e 2piGreco periodica e definita tra [0,piGreco], e dato che an è definito tra -piGreco e piGreco, posso calcolare an facendo l integrale tra 0 e piGreco considerandolo due volte ,cioè moltiplicandone il risultato per due.Stesso ragionamento per a0.
Volevo sapere se le mie considerazioni sono giuste o cosa c'è di sbagliato visto che non mi porta alla soluzione corretta considerarlo cosi, ragion per cui vorrei sapere come andrebbe affrontato .Grazie
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Dunque, vediamo come considerare la cosa in forma generale. Lo sviluppo di una funzione periodica di periodo
[math]2\pi[/math]
, si scrive, in generale, al modo seguente
[math]F(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)\right][/math]

dove

[math]a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi F(t)\ dt\\
a_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi F(t)\cos(nt) dt\\
b_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi F(t)\sin(nt) dt[/math]

D'altra parte, se la funzione è pari, allora è noto che il suo sviluppo si riduce a

[math]F(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nt)[/math]

dove

[math]a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^\pi F(t)\ dt\\
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^\pi F(t)\cos(nt) dt\\
b_n=0[/math]


Ora, nei casi presentati, devi tenere conto di come sono fatte le funzioni date.
Per il primo caso,
[math]f(x)=7x[/math]
è una funzione che, se definita su tutto
[math]mathbb{R}[/math]
risulta dispari: pertanto per costruire la sua associata pari sull'insieme dato devi scriverla così
[math]F(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
7x & & x\in[0,\pi]\\
-7x & & x\in[-\pi,0]
\end{array}\right.[/math]

Puoi verificare (magari disegnandola) che tale funzione è pari.

Nel secondo caso invece avrai

[math]F(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
-4x+\cos x & & x\in[0,\pi]\\
-4x+\cos x & & x\in[-\pi,0]
\end{array}\right.[/math]

Quale è allora l'espressione (unica) che puoi dare alle tue funzioni? Osservando che, a seconda della scelta di
[math]x[/math]
positiva o negativa, va aggiunto un più o un meno davanti al monomio di primo grado, e tale tipologia di ragionamento si associa al valore assoluto, puoi scrivere
[math]F(t)=|7t|,\qquad F(t)=-|4t|+\cos t[/math]

Queste sono le funzioni da utilizzare per calcolare i coefficienti.
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