PrInCeSs Of MuSiC
PrInCeSs Of MuSiC - Genius - 76259 Punti
Salva
Ciao a tutti.

Non riesco venire a capo di questa funzione, non ho idea di come disegnarla.

[math]f(x) = \frac{ln^2x}{2}-lnx[/math]

I miei risultati:
Dominio x>0
Niente asintoto orizzontale:
[math]\lim_{x\to\infty}{\frac{ln^2x}{2}-lnx} = \infty[/math]
x=0 asintoto verticale:
[math]\lim_{x\to 0}{\frac{ln^2x}{2}-lnx} = 0[/math]

Derivata prima:
[math]\frac{lnx-1}{x}[/math]


Derivata seconda:
[math]\frac{2-lnx}{x^2}[/math]
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
Salva
Non ho controllato i conti ma in generale devi vedere:
Gli eventuali incontri con gli assi
i segni della funzione
i segni della derivata prima (crescenza e decrescenza)
eventuali Max e min (f ' = 0)
i segni della derivata seconda (concavità e convessità)
eventuali flessi obliqui (f " = 0)
PrInCeSs Of MuSiC
PrInCeSs Of MuSiC - Genius - 76259 Punti
Salva
Questo lo so anch'io, è quello che ho fatto ma la funzione sembra essere inesistente.
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
Salva
Dominio ok
incontro con asse Y impossibile
incontro con asse X per x=1
derivata prima (vedi foto) sempre STRETTAMENTE minore di ZERO.
IN CONCLUSIONE da più infinito va a meno infinito passando da (1, 0) senza punti stazionari.
Volendo si può calcolare la derivata seconda.

Aggiunto 9 minuti più tardi:

N.B.
quando una funzione ha un asintoto verticale, il limite della funzione tendente alla x dell'asintoto NON può essere un numero finito ma (per definizione) DEVE essere o più o meno INFINITO
PrInCeSs Of MuSiC
PrInCeSs Of MuSiC - Genius - 76259 Punti
Salva
Carlo.. ancora una volta hai fatto errori.
Ricontrollando i calcoli ieri ho trovato ciò che avevo sbagliato, ovvero lo studio del segno della derivata prima.. quindi, ricapitolando:

Dominio x>0
Asintoto orizzontale
Asintoto verticale x=0
derivata prima:
[math]\frac{lnx-1}{x}[/math]
[math]f'(x)\geq 0 : x>e[/math]
minimo relativo in e
[math]m(e,\frac{-1}{2})[/math]
derivata seconda:
[math]\frac{2-lnx}{x^2}[/math]
[math]f''(x)\geq 0 : 0\leq x \leq e^2[/math]
intersezioni con asse x:
[math]x=1[/math]
,
[math]x=e^2[/math]

Aggiunto 3 minuti più tardi:

PS: mi sono appena accorta di aver messo a denominatore una x al posto del 2. Scusa.
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
Salva
Non credo di aver sbagliato la derivata. Nella foto ci sono anche alcuni passaggi. Fammi vedere come l'hai calcolata tu, anche con una foto dei passaggi come ho fatto io ieri sera

Aggiunto 1 ora 54 minuti più tardi:

Io ho calcolato la derivata sia così come è scritta, sia facendo prima il mcm, a mò di riprova, e mi è venuta uguale.
Dato che non ti fidi, ora ho provato anche con symbolab.com (vedi foto).
Premesso che non mi affido mai a questi programmi per le mie risposte (a volte danno risultati non validi) ciò nonostante questa volta ho voluto una ulteriore riprova da mostrarti che i MIEI calcoli erano giusti.
D'altro canto, pur leggermente lunghi, sono relativamente facili.
.
[math]\\RIPASSO\\se:\\F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\\allora:\\F'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}[/math]
.
.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
Salva
Spero vivamente che sia l'ultimo topic che mi tocca riaprire: Skuola.net non è
una rivista peer-reviewed
!! Carlo cerca di essere un po' più attento, la funzione
in questione è
[math]f(x) = \frac{\log^2 x}{2} - \log x[/math]
e non
[math]f(x) = \frac{\log^2 x}{x} - \log x\\[/math]
!!


Dunque, data la funzione
[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da
[math]f(x) := \frac{\log^2 x}{2} - \log x\\[/math]
essa presenta insieme di definizione

[math]\text{dom}[f] = \left\{ x \in \mathbb{R} : x > 0 \right\}[/math]

quindi non interseca l'asse delle ordinate, mentre interseca quello delle ascisse in

[math]f(x) = 0 \; \Leftrightarrow \; x = 1 \, \vee \, x = e^2 \; .[/math]

Per quanto concerne il segno di
[math]f\\[/math]
, si ha
[math]f(x) > 0 \; \Leftrightarrow \; 0 < x < 1 \, \vee \, x > e^2 \; , \\[/math]
quindi
[math]f[/math]
è positiva per
[math]\small 0 < x < 1\, \vee \, x > e^2[/math]
, negativa per
[math]\small 1 < x < e^2\\[/math]
.
Passando allo studio di
[math]f\\[/math]
ai limiti, si ha
[math]\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\,, \; \; \; \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \end{aligned}\\[/math]
da cui consegue che
[math]x = 0[/math]
è asintoto verticale (sinistro) per
[math]f[/math]
, mentre
non esistono asintoti orizzontali per
[math]\small f\\[/math]
: è possibile che vi siano asintoti obliqui.
Dato che si ha
[math]\begin{aligned}m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0\end{aligned}\\[/math]
si appura l'assenza anche di asintoti obliqui per
[math]f\\[/math]
.
È il momento quindi di studiare il segno di
[math]f'[/math]
in
[math]\text{dom}[f]\\[/math]
:
[math]f'(x) = \frac{\log x - 1}{x} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x \ge e\\[/math]
da cui segue che
[math]f[/math]
decresce per
[math]0 < x < e[/math]
, presenta un punto di minimo
relativo per
[math]x = e[/math]
(alla luce dello studio ai limiti tale punto stazionario si
scopre essere anche punto di minimo assoluto per
[math]f[/math]
) e cresce per
[math]x > e\\[/math]
.
Per quanto concerne lo studio del segno di
[math]f''[/math]
in
[math]\text{dom}[f]\\[/math]
:
[math]f''(x) = \frac{2 - \log x}{x^2} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; 0 < x \le e^2\\[/math]
da cui segue che
[math]f[/math]
è convessa per
[math]0 < x < e^2[/math]
, presenta
un punto di flesso per
[math]x = e^2[/math]
ed è concava per
[math]x > e^2\\[/math]
.
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
[math]f[/math]
è

Con questo direi che è davvero tutto. ;)
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di agosto
Vincitori di agosto

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

tiscali

tiscali Tutor 22891 Punti

VIP
Registrati via email