Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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Studio della funzione:

[math]f(x) = \frac{1+\log|x|}{1-\log|x|}[/math]


Aggiunto 1 ora 44 minuti più tardi:

per il dominio(che non riesco mai scrivere bene) no lo so se quello il procedimento o no?

Questa risposta è stata cambiata da TeM (21-11-13 23:40, 3 anni 10 mesi 9 giorni )
TeM
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Per il calcolo del dominio di quella funzione occorre intersecare la condizione che impone il denominatore diverso da zero (come hai ben scritto) e la condizione che impone l'argomento
del logaritmo
maggiore di zero. In matematichese, si ha

[math]\begin{cases} 1-\log|x|\ne 0 \\ |x|>0 \end{cases} \; \Leftrightarrow \; \begin{cases} |x|\ne e \\ x\ne 0 \end{cases} \; \Leftrightarrow \; x \ne \pm\,e \; \land x \ne 0 \; . \\[/math]

Se fin qui è chiaro procedi pure con lo studio di funzione ;)
Hajra
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su questo ho fatto la simmetria e studio del segno, mi può controllare se ho fatto bene o no?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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La simmetria l'hai studiata correttamente. Precisamente, si ha:

[math]f(-x)=\frac{1+\log|-x|}{1-\log|-x|}=\frac{1+\log|x|}{1-\log|x|}=f(x) \; \Rightarrow \; f \; è \; pari\;.\\[/math]


Nello studio della positività di
[math]f\\[/math]
occhio che
[math] \log|x|>-1 \; \Leftrightarrow \; |x| > \frac{1}{e} \; \Leftrightarrow \; \dots\\[/math]

e analogamente

[math] \log|x|<1 \; \Leftrightarrow \; |x| < e \; \Leftrightarrow \; \dots\\[/math]


Prova a continuare da sola ;)
Hajra
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che ne dici di questo???
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Hai risolto (quasi) correttamente le disequazioni (nella seconda occorre scartare
[math]x=0[/math]
) e
poi hai sbagliato il prodotto dei segni. Prova a rivederlo. Dovresti trovare che
[math]f[/math]
è positiva per
[math]-e < x < -\frac{1}{e} \; \vee \; \frac{1}{e} < x < e[/math]
. ;)
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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ho trovato l'errore, ero distratta, adesso devo fare gli asintoti:
[math]limx-> 0^+ \frac{1+log|x|}{1-log|x|}= \frac{∞}{∞}[/math]


faccio de l'Hopital quindi:
[math]limx->0^+\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x}}[/math]

x di numeratore si semplifica con quello del denominatore, quindi:

[math]limx->0^+ \frac{1}{-1}= -1[/math]

quindi non c'è asintoto verticale, fino qui è giusto?????
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Fin qui è giusto,
[math]x=0[/math]
non è un asintoto verticale destro (stesso risultato lo si trova a sinistra per simmetria). Ora devi studiare il limite per
[math]x\to e[/math]
dato che pure quel valore è escluso dal dominio. Quindi passa allo studio del limite per
[math]x\to +\infty[/math]
;)
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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allora se non sbaglio non esiste asintoto verticale nè su punto zero nè su e, esiste asintoto orizzontale , quindi non esiste asintoto obliquo, vero????
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Per quanto riguarda lo studio degli asintoti orizzontali/obliqui quello che scrivi è corretto. Invece, sull'asintoto verticale bada bene che in matematica, qualora non venga specificata la base, si
tratta di logaritmi in base naturale (
[math]e[/math]
). Dunque
[math]\log e=1[/math]
, da cui segue che
[math]\begin{aligned}\lim_{x\to e^-}\frac{1+\log|x|}{1-\log|x|}=+\infty\end{aligned}[/math]
mentre
[math]\begin{aligned}\lim_{x\to e^+}\frac{1+\log|x|}{1-\log|x|}=-\infty\end{aligned} \; .\\[/math]


Volendo tirare le somme sullo studio degli asintoti, tenendo conto della simmetria di
[math]f\\[/math]
, si ha:
- asintoti verticali: per
[math]x \to -e^{\pm}[/math]
:
[math]x=-e[/math]
; per
[math]x \to e^{\pm}[/math]
:
[math]x=e\\[/math]
;
- asintoti orizzontali: per
[math]x\to \pm \infty[/math]
:
[math]y=-1\\[/math]
;
- asintoti obliqui: assenti.

Vedi se ti ritrovi ;)
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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poi un'altra cosa come riesco a mettere gli asintoti sul grafico?????
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Devi graficare le rette di equazione cartesiana
[math]x=-e[/math]
,
[math]x=e[/math]
,
[math]y=-1[/math]
(dove
[math]e\approx 2.7[/math]
). :)
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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non è così prima mi hai detto k f è postivo -e < x < -1/e a me risulta negativo,
per quanto riguarda la derivata ti allego la foto
grazzieeeeeeeee
Michele510
Michele510 - Erectus - 128 Punti
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Nella derivata prima non potevi fare quella semplificazione
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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1. Prodotto dei segni (di f):

[math]
\begin{aligned}
& N: \, +\,+\,+\,+[-1/e]\,-\,(0)\,-\,[1/e]\,+\,+\,+\,+ \\
& D: \, -\,(-e)\,+\,+\,+\,+\,+(0)\,+\,+\,+\,+\,(e)\,-\,- \\
& --------------------- \\
& f: \, -\,(-e)\,+\,[-1/e]\,-\,\,(0)\,-\,[1/e]\,+\,(e)\,-\,-
\end{aligned} \\
[/math]


2. Derivata prima (di f):

[math]f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\left(1-\log|x|\right)-\left(1+\log|x|\right)\frac{-1}{x}}{\left(1-\log|x|\right)^2}=\frac{2}{x\left(1-\log|x|\right)^2} \; .\\[/math]


Tutto qui ;)
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