insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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salve avrei bisogno dl vostro aiuto con questo esercizio;

Studiare la convergenza della serie:

[math]\sum_{n=1}^{\infty } \, cotg\, \left ( \frac{\pi }{2} -\frac{1}{n^{2}}\right )\, cos\left ( n!+5 \right )[/math]

Si tratta di una serie a segno variabile e quindi studiamo l'assoluta convergenza, ovvero la serie con i valori assoluti:

[math]\sum_{n=1}^{\infty } \left | \, cotg\, \left ( \frac{\pi }{2} -\frac{1}{n^{2}}\right )\, cos\left ( n!+5 \right ) \right |[/math]


ora però non sò che criterio applicare e come poterlo applicare..
se mi potete aiutare..
grazie..
davi02
davi02 - Sapiens Sapiens - 1079 Punti
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Converge assolutamente per il criterio del confronto.
Per ogni
[math]n \ge 1[/math]

[math] \left| cotg(\frac{\pi}{2} − \frac{1}{n^2}) \cos(n! + 5) \right| =
tg(\frac{1}{n^2}) \left| \cos(n!+5) \right| \le
tg(\frac{1}{n^2}) \le
\frac{tg(1)}{n^2} [/math]
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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Potresti dirmi perchè scrivi la cotagente
come tangente....e perche hai eliminato il coseno.
Se mi puoi spiegare.
Sto impazzendo.. Non riesco a capire..
Se mi puoi aiutare..
Grazie..
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Vediamo di chiarire alcune cose: prima di tutto, la serie si può riscrivere come

[math]\sum_{n=1}^\infty \tan\frac{1}{n^2}\cdot \cos(n!+5)[/math]

questo perché vale la regola degli archi associati

[math]\cot(\pi/2-\alpha)=\tan\alpha[/math]

(e queste cose, insule, faresti meglio ad imparale prima o poi!)

Ora, la serie che viene fuori è chiaramente a segni non costanti (ma non alterni) e quindi l'unico modo per studiarla è passare a studiare quella dei valori assoluti. Poiché
[math]|\cos\alpha|\le 1[/math]
(per definizione) e dal momento che se
[math]0< \beta < 1[/math]
si ha pure
[math]\tan\beta <\beta[/math]
(lo si può vedere facilmente disegnando la circonferenza trigonometrica e prendendo l'arco che ha come lunghezza il raggio della circonferenza stessa) abbiamo
[math]\left|\tan\frac{1}{n^2}\cdot\cos(n!+5)\right|=\left|\tan\frac{1}{n^2}\right|\cdot\left|\cos(n!+5)\right|\le\left|\tan\frac{1}{n^2}\right|\le\frac{1}{n^2}[/math]

per cui la serie originale è maggiorata dalla serie

[math]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}[/math]

la quale converge essendo una serie armonica generalizzata di esponente
[math]p=2 > 1[/math]
. Ne segue che la serie dei valori assoluti, per il criterio del confronto, converge (è maggiorata da una serie convergente) e pertanto la serie di partenza converge assolutamente.
EDIT: mi hanno fatto notare un errore (chiedo venia, la fretta di voler scrivere le cose senza stare a pensarci troppo) riguardo la disuguaglianza con la tangente. Effettivamente non è vero che
[math]\tan\beta<\beta[/math]
come scritto sopra (o almeno, non sotto quelle condizioni per
[math]\beta[/math]
). Tuttavia, per il teorema del confronto asintotico, possiamo affermare che dall'essere
[math]\tan\frac{1}{n^2}\sim\frac{1}{n^2}[/math]
se ne ricava anche che il termine generale della nostra serie è maggiorato da un termine asintoticamente equivalente a
[math]\frac{1}{n^2}[/math]
(per cui sostituiamo l'ultima disequazione di questa riga

[math]\left|\tan\frac{1}{n^2}\cdot\cos(n!+5)\right|=\left|\tan\frac{1}{n^2}\right|\cdot\left|\cos(n!+5)\right|\le\left|\tan\frac{1}{n^2}\right|\le\frac{1}{n^2}[/math]

con il simbolo di asintoticità). La conclusione risulta la stessa.
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