oiraD93
oiraD93 - Habilis - 180 Punti
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Salve.
Da premettere che la mia è una domanda generale , per fare chiarezza su questo argomento.. vengo al dunque:
quando devo studiare la convergenza ( o meno ) di un integrale improprio , quale ordine dovrei seguire ? Nel senso , come faccio a capire quale criterio è più opportuno utilizzare a seconda dei casi?
Un esempio ( anche elementare , se non chiedo troppo ) sarebbe apprezzatissimo e di grande aiuto .
Vi ringrazio in anticipo
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Diciamo che, per prima cosa, va guardato il dominio della funzione per appurare se essa presenta o meno punti di eventuale discontinuità all'interno dell'intervallo di integrazione. Fatto questo, vanno affrontati in due modi differenti (anche se il procedimento segue la stessa filosofia) i casi in cui il problema sia un punto finito o un punto all'infinito.

Se il punto è finito, diciamo
[math]x_0[/math]
, esso può presentarsi o come estremo di integrazione o come punto interno all'intervallo di integrazione. Cosa fare: in generale cercare di capire come si comporta la funzione
[math]f(x)[/math]
in un intorno di tale punto, determinandone il suo ordine di infinito. A tal fine, si trova il valore
[math]\alpha>0[/math]
per il quale
[math]f(x)\sim\frac{1}{(x-x_0)^\alpha}[/math]

e usando a questo punti il fatto che in generale un integrale del tipo

[math]\int_{x_0}^a\frac{1}{(x-x_0)^\alpha}\ dx<\infty\ \Rightarrow\ \alpha<1[/math]


Se invece il punto è all'infinito, il procedimento è simile: questa volta si cerca
[math]\alpha>0[/math]
che rappresenti l'ordine di infinitesimo della funzione
[math]f(x)[/math]
(osserva che il fatto che la funzione sia infinitesima all'infinito è condizione necessaria ma non sufficiente affinché l'integrale converga), cioè
[math]f(x)\sim\frac{1}{x^\alpha}[/math]

e si usa il risultato per cui

[math]\int_{x_0}^a\frac{1}{x^\alpha}\ dx<\infty\ \Rightarrow\ \alpha>1[/math]


Un esempio, non elementarissimo, ma che ti fa capire come procedere: consideriamo l'ntegrale
[math]\int_0^\infty\frac{\arctan(x^n)}{x^m}\ dx[/math]
dove
[math]n,m\in\mathbb{R^+}[/math]
(positivi e non nulli).
Osserviamo che gli unici punti problematici sono
[math]x_0=0[/math]
e l'infinito. Possiamo scomporre l'integrale così: detti
[math]a, b\in(0,+\infty)[/math]

[math]\int_0^a\frac{\arctan(x^n)}{x^m}\ dx+\int_a^b\frac{\arctan(x^n)}{x^m}\ dx+\int_b^{+\infty}\frac{\arctan(x^n)}{x^m}\ dx[/math]

e osservare che l'integrale al centro converge senza problemi. Restano i due laterali.

Per il primo, usando i confronti asintotici, possiamo dire che

[math]\frac{\arctan(x^n)}{x^m}\sim\frac{x^n}{x^m}=\frac{1}{x^{m-n}}[/math]

e pertanto, dalla condizione scritta più sopra, deve essere
[math]m-n<1[/math]
.
Per il secondo, osserva che la funzione arcotangente per
[math]x\to+\infty[/math]
è limitata e ha come limite
[math]\pi/2[/math]
: pertanto
[math]\frac{\arctan(x^n)}{x^m}\sim\frac{1}{x^m}[/math]

e quindi dalla condizione scritta prima si ha
[math]m>1[/math]

In definitiva l'integrale converge solo quando

[math]m-n<1,\ m>1[/math]

o anche

[math]m>1,\ n>m-1[/math]
oiraD93
oiraD93 - Habilis - 180 Punti
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Ti ringrazio per la risposta , molto chiara
Continuo però a non capire quando è opportuno utilizzare il primo criterio del confronto..
Ci sono casi particolari che mi indicano di utilizzare questo criterio?

Aggiunto 1 ora 40 minuti più tardi:

Avrei anche un' ultimissima domanda: come mai , per quanto riguarda l' integrale improprio di sen(x)/x , ( con estremi di integrazione 1 e +infinito)
non va bene usare direttamente il criterio del confronto? ( ma bisogna , prima , integrare la funzione per parti ) ..
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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La prima domanda non l'ho capita.

Per la seconda: quella funzione non è integrabile e non hai bisogno di fare nessuna integrazione a priori. Osserva che l'unico problema ce l'hai per
[math]x\to+\infty[/math]
, sul quale puoi ragionare così: dal momento che
[math]-1\le\sin x\le 1[/math]
, all'infinito
[math]\frac{\sin x}{x}\sim\frac{c}{x}[/math]
, con
[math]c\in[-1,1][/math]
costante arbitraria. Visto che
[math]1/x[/math]
non è integrabile, hai concluso.
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