mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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Ciao :hi ho un problema nel calcolare la somma di questa serie di funzione:


[math] \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{{3nx+2}}}{(n+2)!n}[/math]


grazie.
mc2
mc2 - Genius - 14300 Punti
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Prova a derivare rispetto a x, cosi` la n a denominatore si semplifica e dovrebbe essere piu` facile calcolare la somma.

Alla fine dovrai integrare per tornare alla serie originaria
mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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allora derivo e semplifico la n


[math]f'(x)= [\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{{3nx+2}}}{(n+2)!n}]' =\sum_{n=1}^\infty [\frac{e^{{3nx+2}}}{(n+2)!n}]' = \sum_{n=1}^\infty \frac{3ne^{{3nx+2}}}{(n+2)!n}=3e^{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{{3nx}}}{(n+2)!}[/math]


ponendo
[math]t=e^{3x}[/math]
definisco la serie:

[math]3e^{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{t^{{n}}}{(n+2)!}= \frac{3e^{2}}{t^{2}}\sum_{n=1}^\infty \frac{t^{{n+2}}}{(n+2)!}[/math]


fin qui è corretto?
mc2
mc2 - Genius - 14300 Punti
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Si` e` corretto. Ora hai la serie esponenziale a cui mancano i primi 3 termini.
mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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allora

[math] \frac{3e^{2}}{t^{2}}\sum_{n=1}^\infty \frac{t^{{n+2}}}{(n+2)!}= \frac{3e^{2}}{t^{2}}[\sum_{n=1}^\infty \frac{t^{{n}}}{(n)!}-\frac{t^{2}}{2}-t -1]= \frac{3e^{2}}{t^{2}}[e^{t}-\frac{t^{2}}{2}-t -1]=[/math]


[math]=\frac{3e^{t+2}}{t^{2}}-\frac{3e^{2}}{2}-\frac{3e^{2}}{t} - 3t^{2}[/math]


e quindi con la sostituzione fatta in precedenza e semplificando ottengo:


[math]{\mathcal S}=\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{{3nx+2}}}{(n+2)!n}=3e^{e^{3x}+2-6x}-\frac{3e^{2}}{2}-3e^{2-3x} - 3e^{6x}[/math]
mc2
mc2 - Genius - 14300 Punti
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Calma!

Hai ottenuto la somma della serie derivata
[math]f'(x)[/math]
, non di quella iniziale!

Ora dovresti integrare per ricavare
[math]f(x)[/math]
e qui sorgono i problemi: compare un integrale esponenziale che non si puo` calcolare elementarmente (infatti e` una funzione speciale).
Potrai fare qualche passaggio ma alla fine ti dovrai fermare.

Nel risultato finale rimarra` un integrale. Secondo me non si puo` fare altro.

Aggiunto 43 minuti più tardi:

Riguardando meglio: manca un fattore e^2 nell'ultimo termine:

[math]f'(x)= 3e^2
\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{3nx}}{(n+2)!} =
3e^{e^{3x}+2-6x}-\frac{3e^2}{2}-3e^{2-3x}-3e^{6x+2}
[/math]
mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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ho capito, grazie :thx
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