francesfarmer
francesfarmer - Ominide - 2 Punti
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Vi chiedo aiuto con questo esercizio perché ho provato a risolverlo in 200 modi e non sono riuscito a venirne a capo.
Ho questo sistema
{x-ay-az=0
{2x+3az=1
{x+y+4z=a
{5x-3y=1
e devo trovarne le soluzioni.
Devo risolverlo con le matrici. Ho fatto la matrice completa e incompleta eccetera.

Mi dite come si risolve per favore? Ho un sacco di cose da fare non ce la faccio più a stare dietro a solo un esercizio.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, dato il sistema di equazioni lineari in forma normale:

[math]
\begin{cases}
x - a\,y-a\,z = 0 \\
2\,x + 3\,a\,z = 1 \\
x + y + 4\,z = a \\
5\,x - 3\,y = 1
\end{cases} \\
\\[/math]

con
[math]a \in \mathbb{R}[/math]
, scrivendolo in forma matriciale
[math]A\,\mathbf{x} = \mathbf{b}\\[/math]
si ha:
[math]A := \begin{pmatrix} 1 & -a & -a \\ 2 & 0 & 3\,a \\ 1 & 1 & 4 \\ 5 & -3 & 0 \end{pmatrix}\,, \; \; \; \mathbf{x} := \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\,, \; \; \; \mathbf{b} := \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ a \\ 1 \end{pmatrix}\,.\\[/math]

Considerando la matrice orlata
[math]A|b\\[/math]
, tramite eliminazione gaussiana si ha:
[math]
\small
\begin{aligned}
& \Rightarrow \;
\begin{aligned}
&- \\
&II-2\,I \\
&- \\
&-
\end{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & -a & -a & | & 0 \\
0 & 2\,a & 5\,a & | & 1 \\
1 & 1 & 4 & | & a \\
5 & -3 & 0 & | & 1
\end{pmatrix}
\\
&. \\
& \Rightarrow \;
\begin{aligned}
&- \\
&- \\
& III-I \\
&-
\end{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & -a & -a & | & 0 \\
0 & 2\,a & 5\,a & | & 1 \\
0 & 1+a & 4+a & | & a \\
5 & -3 & 0 & | & 1
\end{pmatrix}
\\
&. \\
& \Rightarrow \;
\begin{aligned}
&- \\
&- \\
&- \\
& IV - 5\,I
\end{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & -a & -a & | & 0 \\
0 & 2\,a & 5\,a & | & 1 \\
0 & 1+a & 4+a & | & a \\
0 & -3+5\,a & 5\,a & | & 1
\end{pmatrix}
\\
&. \\
& \Rightarrow \;
\begin{aligned}
&- \\
& II \leftarrow III \\
& III \leftarrow II \\
&-
\end{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & -a & -a & | & 0 \\
0 & 1+a & 4+a & | & a \\
0 & 2\,a & 5\,a & | & 1 \\
0 & -3+5\,a & 5\,a & | & 1
\end{pmatrix}
\\
&. \\
& \Rightarrow \;
\begin{aligned}
&- \\
&II - \frac{1}{2}\,III \\
&- \\
&-
\end{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & -a & -a & | & 0 \\
0 & 1 & 4-\frac{3}{2}\,a & | & a-\frac{1}{2} \\
0 & 2\,a & 5\,a & | & 1 \\
0 & -3+5\,a & 5\,a & | & 1
\end{pmatrix}
\\
&. \\
& \Rightarrow \;
\begin{aligned}
&- \\
&- \\
& III - 2\,a\,II \\
&-
\end{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & -a & -a & | & 0 \\
0 & 1 & 4-\frac{3}{2}\,a & | & a-\frac{1}{2} \\
0 & 0 & 3\,a\,(a - 1) & | & -(a - 1)\,(1 + 2\,a) \\
0 & -3+5\,a & 5\,a & | & 1
\end{pmatrix}
\\
&. \\
& \Rightarrow \;
\begin{aligned}
&- \\
&- \\
&- \\
&IV - (-3+5\,a)II
\end{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & -a & -a & | & 0 \\
0 & 1 & 4-\frac{3}{2}\,a & | & a-\frac{1}{2} \\
0 & 0 & 3\,a\,(a - 1) & | & -(a - 1)\,(1 + 2\,a) \\
0 & 0 & \frac{3}{2}\,(a-1)\,(5\,a-8) & | & \frac{1}{2}\,(a - 1)(1 - 10\,a)
\end{pmatrix}
\end{aligned}\\
[/math]

Stop, ricordando il teorema secondo cui il rango di una
matrice a scalini uguaglia il numero dei suoi pivot
, si ha:

- per
[math]a = 1[/math]
si ha
[math]rk(A) = 2 = rk(A|b) < n = 3[/math]
, dunque per il
teorema di Rouchè-Capelli il sistema è compatibile e presenta
[math]\small \infty^{3-2}[/math]
_
soluzioni. In particolare, ponendo
[math]x = t[/math]
(con
[math]t \in \mathbb{R}[/math]
) si ottengono le
infinite soluzioni:
[math](x,\,y,\,z) = \left(t, \; \frac{5\,t-1}{3}, \; \frac{1-2\,t}{3}\right)[/math]
, per ogni
[math]t \in \mathbb{R}\\[/math]
;
- per
[math]a \ne 1[/math]
si ha
[math]rk(A) = 3 \ne rk(A|b) = 4[/math]
, dunque per il teorema
di Rouchè-Capelli
il sistema è incompatibile, ossia non presenta soluzioni.

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)
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