matematta
matematta - Ominide - 9 Punti
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Ciao ragazzi,
spero che qualcuno mi possa aiutare in qualche modo su un problema che purtroppo da giorni non riesco a risolvere.
In pratica l'esercizio chiede : Date due rette r: x+y+1=0 ed s: 2x+ y+2=0 determinare l'equazione della retta s' simmetrica di s rispetto a r.
Non saprei come procedere. Ho trovato l'intersezione fra le 2 rette, in questo modo ho trovato il punto P ( -1,0). Ma come continuare? In aula la prof aveva abbozzato una risoluzione trovando il punto P' simmetrico di P e appartenente ad s che veniva( 0, -2) . Solo che non riesco a capire come abbia fatto a ricavarlo... Attendo vostre risposte, grazie in anticipo!
ciampax
ciampax - Tutor - 29254 Punti
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Ci sono vari modi con cui procedere. Per prima cosa, osserva che geometricamente il concetto di simmetria di un punto
[math]A[/math]
rispetto ad una retta fissata
[math]r[/math]
, implica trovare un secondo punto
[math]A'[/math]
per cui valga la condizione
[math]d(A,r)=d(A',r)[/math]
, essendo
[math]d[/math]
la distanza punto retta.

Risulta allora chiaro che il punto di intersezione tra le due rette è l'unico punto che rimane fisso, mentre tutti gli altri varieranno. Una osservazione del disegno delle due rette e la considerazione che il punto
[math]P[/math]
non si muove, ti fa capire che la retta
[math]r[/math]
risulterà, allora, la bisettrice tra le rette
[math]s[/math]
ed
[math]s'[/math]
.

Riesci a questo punto a risolvere il problema?
matematta
matematta - Ominide - 9 Punti
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Uhmm allora innanzitutto grazie per aver risposto, non ci speravo più :D. Dunque si più o meno il tuo ragionamento mi è chiaro . Il mio problema però è proprio quello che non so come ricavarmi P'. C'è una formula generale o qualcosa che porti a quel risultato di P' (0,-2)?
Cioè a me quel risultato sembra sbucato dal nulla, non riesco a trovare un filo logico. Ho consultato alcuni libri e pare che per trovarsi il simmetrico di un punto bisogna applicare x'= 2x0- x y'= 2yo -y- In questo caso però mi manca X0 ,ho solo un punto in pratica,ovvero P, dato dall'intersezione fra le 2 rette, quindi questa formula non posso applicarla. Come fare quindi?
ciampax
ciampax - Tutor - 29254 Punti
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Per prima cosa, c'è qualcosa che concettualmente non torna. Se
[math]P[/math]
è il punto di intersezione tra le due rette, il suo simmetrico coincide con esso, in quanto esso rimanesulla retta di simmetria (pensa alla simettria rispetto ad un asse: tutti i punti dell'asse si conservano).
Vediamo di scrivere,in generale, una relazione per la simmetria di un punto rispetto ad una retta e, da questa, cerchiamo di capire come applicarla a tutti i punti di un certo luogo geometrico.

Prendiamola retta
[math]r:\ ax+by+c=0[/math]
e il punto generico
[math]P(x_0,y_0)[/math]
che non appartiene alla retta e determiniamone il simmetrico
[math]P'(x_0',y_0')[/math]
rispetto alla retta. Il punto simmetrico deve trovarsi sulla retta passante per
[math]P[/math]
e perpendicolare alla retta di simmetria: essendo il coefficiente angolare della retta di simmetria pai a
[math]m=-a/b[/math]
e quindi quello della perpendicolare pari a
[math]m_1=b/a[/math]
, l'equazione della retta perpendicolare passante per
[math]P[/math]
risulta
[math]s:\ y-y_0=\frac{b}{a}(x-x_0)\ \Rightarrow\ bx-ay+ay_0-bx_0=0[/math]

Cerchiamo il punto di intersezione
[math]M[/math]
tra le due rette: esso risulterà punto medio del segmento
[math]PP'[/math]
in quanto, come dicevo nel post precedente, la distanza di
[math]P[/math]
da
[math]r[/math]
deve essere uguale a quella di
[math]P'[/math]
da
[math]r[/math]
. Abbiamo allora
[math]M:\left\{\begin{array}{l}
ax+by+c=0\\ bx-ay+ay_0-bx_0=0
\end{array}\right.[/math]

da cui
[math]M=(x_M,y_M)=\left(-\frac{ac+aby_0-b^2x_0}{a^2+b^2},-\frac{cb-a^2y_0+abx_0}{a^2+b^2}\right)[/math]

D'altra parte, possiamo anche scrivere

[math]x_M=\frac{x_0+x_0'}{2},\quad y_M=\frac{y_0+y_0'}{2}\ \Rightarrow\ x_0'=2x_M-x_0,\ y_0'=2y_M-y_0[/math]

da cui,dopo qualche calcolo, si ricava

[math]x_0'=\frac{(b^2-a^2)x_0-2aby_0-2ac}{a^2+b^2}\\ y_0'=\frac{(a^2-b^2)y_0-2abx_0-2bc}{a^2+b^2}[/math]

Inoltre dalle due relazioni precedenti possiamo determinare le equazioni che forniscono le coordinate di
[math]P[/math]
in funzione di quelle di
[math]P'[/math]

[math]x_0=\frac{(b^2-a^2)x_0'-2aby_0'-2ac}{a^2+b^2}\\ y_0=\frac{(a^2-b^2)y_0'-2abx_0'-2bc}{a^2+b^2}[/math]

Queste sono le generiche trasformazioni per determinare un punto simmetrico ad una retta data. Se ora consideriamo una intera retta
[math]Ax+By+C=0[/math]
da simmetrizzare, se
[math]P(x_0,y_0)[/math]
è un suo generico punto, usando le precedenti equazioni si ricava
[math]A\frac{(b^2-a^2)x_0'-2aby_0'-2ac}{a^2+b^2}+B\frac{(a^2-b^2)y_0'-2abx_0'-2bc}{a^2+b^2}+C=0[/math]

e quindi dopo qualche calcolo e sostituendo
[math]x_0'\to X,\ y_0'\to Y[/math]
come coordinate
[math][A(b^2-a^2)-2abB]X+[B(a^2-b^2)-2abA]Y+C(a^2+b^2)-2acA-2bcB=0[/math]

che è l'equazione della retta simmetrica.


Se segui il ragionamento che ho fatto con le due rette date (lascia perdere il loro punto di intersezione) troverai agevolmente l'equazione della retta.
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