miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Salve a tutti. Vorrei avere dei chiarimenti sul significato geometrico della differenziabilità. Osservando un grafico di una funzione in due variabili, come faccio ad accorgermi se una funzione è differenziabile o meno in un punto?? Ad esempio nella funzione :

[math] f(x,y)=(x^2(y-1))^{(1/3)} +1 [/math]

Nel punto (x,y)=(0,1), la funzione non è differenziabile, ma ciò cosa significa graficamente? Che cosa si può notare riguardo il grafico della funzione nel punto (0,1)?? Grazie a tutti in anticipo.
hakunamatata
hakunamatata - Sapiens Sapiens - 1405 Punti
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http://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090622094620AAaEv8V
nn so se c'entra molto..
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Beh in realtà cercavo qualcosa di più esaustivo. Ciò che mi interessa particolarmente è come riconoscere dal grafico se una funzione in un punto è differenziabile o meno.

Aggiunto 2 giorni più tardi:

Nessuno può darmi una mano???

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Innanzitutto grazie mille della spiegazione come sempre chiarissima e illuminante. Ho capito il significato di differenziabilità, ma continuo a non capire alcuni esercizi simili a quello che ho postato. Nell esercizio da me proposto, io per verificare se la funzione è differenziabile o meno in (0,1) uso la condizione sufficiente per la differenziabilità secondo la quale se le derivate parziali di f esistono in un intorno di un punto x* e sono continue, allora la funzione è differenziabile nel punto x*. Ora io ho calcolato le derivate parziali della funzione da me postata nel punto (0,1) ed esse a meno che non abbia sbagliato qualcosa dovrebbero esistere entrambi e dovrebbero valere:

[math] \frac{\delta f(0,1)}{\partial x)=0
\frac{\delta f(0,1)}{\partial y)=0 [/math]

Quindi secondo il mio ragionamento la funzione dovrebbe essere differenziabile in (0,1) e il piano tangente dovrebbe risultare :
[math] \pi=1 [/math]
ma invece ovviamente nn è così....dov è che sbaglio???
ciampax
ciampax - Tutor - 29294 Punti
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Per prima cosa, bisogna analizzare la definizione di differenziabilità.

Sia

[math]F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}[/math]
una funzione di
[math]n[/math]
variabili reali e sia
[math]\mathbf{x}_0\in\mathbb{R}^n[/math]
un punto del dominio di
[math]F[/math]
. La funzione si dice differenziabile in tale punto se esiste una applicazione lineare affine
[math]L:\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}[/math]
[math]L(\mathbf(x))=\mathbf{a}\bullet\mathbf{x}+b[/math]

(qui
[math]\mathbf{a}\in\mathbb{R}^n,\ b\in\mathbb{R}[/math]
e
[math]\bullet[/math]
denota il prodotto scalare standard) tale che
[math]\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}\frac{F(\mathbf{x})-F(\mathbf{x}_0)-L(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)}{||\mathbf{x}-\mathbf{x}_0||}=0[/math]

(qui
[math]||\cdot||[/math]
denota la norma associata al prodotto scalare standard, i.e. la norma euclidea)
Cosa vuol dire, in soldoni, questa definizione? Per prima cosa, dato
[math]\rho>0[/math]
definiamo
[math]D_\rho(\mathbf{x}_0)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}\ :\ ||\mathbf{x}-\mathbf{x}_0||<\rho\}[/math]

il disco di centro
[math]\mathbf{x}_0[/math]
e raggio
[math]\rho[/math]
.
La definizione di differenziabilità ti dice allora che, per ogni
[math]\epsilon>0[/math]
esiste un
[math]\rho>0[/math]
tale che, se
[math]\mathbf{x}\in D_\rho(\mathbf{x}_0)[/math]
allora
[math]\left|\frac{F(\mathbf{x})-F(\mathbf{x}_0)-L(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)}{||\mathbf{x}-\mathbf{x}_0||}\right|<\epsilon[/math]

L'ultima disequazione dice sostanzialmente che, in un disco molto piccolo, la funzione può riscriversi come
[math]F(\mathbf{x})=F(\mathbf{x}_0)+L(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)+\omega(\mathbf{x})[/math]

dove
[math]\omega\to 0[/math]
per
[math]\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0[/math]
. La differnziabilità quindi ti dice che una funzione lo è se può essere approssimata bene da una cosa della forma
[math]G(\mathbf{x})=F(\mathbf{x}_0)+b+\mathbf{a}\bullet(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)[/math]

cioè da una funzione lineare affine (e quindi un iperpiano). Tale funzione rappresenta il Piano tangente alla funzione nel punto dato. Quindi geometricamente la differenziabilità implica l'esistenza del piano tangente.

Ora prova a riflettere sull'esempio che hai fornito e a capire perché la funzione non è differenziabile.

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Se quella funzione ammette derivate nel punto (0,1) io sono babbo Natale! :asd

Guarda che le derivate parziali, calcolate brutalmente, valgono

[math]\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x(1-y)}{3[x^2(1-y)]^{2/3}},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x^2}{3[x^2(1-y)]^{2/3}}[/math]

che sono due funzioni NON DEFINITE nel punto (0,1) e quindi non possono essere continue. Sono d'accordo con te che il calcolo con la definizione delle derivate parziali risulta 0 in entrambi i casi, ma questo ti dice che le derivate stesse sono estendibili con continuità nel punto (0,1) e non continue.

Un'occhiata al grafico di convincerà di questo.

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