miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
Salva

Salve a tutti. Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire il significato, anche a livello geometrico e grafico, di convergenza uniforme di una successione di funzioni??? Grazie a tutti in anticipo.

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Ok tutto chiaro. Per quanto riguarda invece la risuluzione degli esercizi come si procede?? Ad esempio data la successione:

[math]f_n(x)=nx e^{-n^4x^4} [/math]

come procede per studiare la convergenza puntuale e uniforme???
ciampax
ciampax - Tutor - 29294 Punti
Salva

Sostanzialmente, la convergenza uniforme da una condizione più forte di quella di convergenza puntuale in questo senso: se tu hai convergenza puntuale, è vero che al limite i valori delle funzioni della successioni in un punto fissato coincidono con quelli della funzione data, tuttavia le varie funzioni della successione approssimano la funzione limite in modo molto diverso tra loro. Alcune di esse potranno essere in pratica identiche alla funzione limite, altre discostarsi da essa anche su intervalli grandi e per differenze grandi.

Con la convergenza uniforme invece questo non accade: le funzioni della successione, da un certo n in poi, approssimano così bene la funzione limite che la differenza dei valori in un punto x qualsiasi e sempre minore di una quantità fissata, indipendente da x (ma dipendente dal particolare indice n di cui dicevo prima).

Graficamente puoi pensare così: in convergenza puntuale, se disegni la funzione limite e poi inizi a tracciare le funzioni della successione ottieni un groviglio terribile di curve. In convergenza uniforme, invece, una volta disegnata la funzione limite, quello che accade, da un certo n in su, è che tutte queste funzioni risultano avere un profilo praticamente identico a quello della funzione limite si discostano da essa di un valore piccolo fissato (e quindi tutte queste funzioni sono disegnate in una striscia molto stretta che ha l'andamento della funzione limite).

Per determinare la convergenza puntuale, la cosa è abbastanza semplice: studia il limite della successione considerando la x come un parametro. Allora puoi osservare che, per ogni

[math]x\neq 0[/math]
puoi scrivere
[math]\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{(nx)^4}}=0[/math]

in quanto l'esponente della e risulta sempre positivo, e quindi il denominatore va a infinito più velocemente del numeratore. Se invece x=0 banalmente
[math]f_n(0)=0[/math]
e quindi la successione è quella identicamente nulla. Da ciò, puoi concludere che la tua successione converge puntualmente alla funzione identicamente nulla
[math]f(x)=0[/math]
.
Per la convergenza uniforme, invece, dobbiamo costruire la successione
[math]a_n=\sup_{x\in\real}|f_n(x)-f(x)|=\sup_{x\in\real}\ \frac{n|x|}{e^{(nx)^4}[/math]

Calcoliamo tale sup usando la derivata prima della funzione: si ha
[math]D\left(n|x|e^{-(nx)^4\right)=n\left(\frac{x}{|x|}\cdot e^{-(nx)^4}+|x|(-4n(nx)^3)\cdot e^{-(nx)^4}\right)=\\
=\frac{n\cdot e^{-(nx)^4}}{|x|}\left(x-4n x^2(nx)^3\right)[/math]

e quindi
[math]D(|f_n(x)|)\geq 0\ \Leftrightarrow\ x(1-4n^4 x^4)\geq 0[/math]

la cui soluzione è
[math]x\leq-\frac{1}{n\sqrt{2}},\ 0<x\leq\frac{1}{n\sqrt{2}}[/math]
. Ne segue che la funzione cresce su tali intervalli e quindi ammette massimo (e quindi anche sup) nei punti
[math]x=\pm\frac{1}{n\sqrt{2}}[/math]
. Ma allora si ha
[math]a_n=n\cdot\frac{n\sqrt{2}}\cdot e^{-(n/n\sqrt{2})^4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{-1/4}[/math]

ed essendo
[math]\lim_{n\to\infty} a_n=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{-1/4}\neq 0[/math]
la successione non converge uniformemente.
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
Registrati via email