Jack911
Jack911 - Ominide - 38 Punti
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∑[ n=1 , +inf ] { [ sin( sin( n ) ) ]^n }

A fatica sono riuscito a concludere che la successione è infinitesima ( anche se non ho tutta la certezza ) .

Comunque sia i grattacapi iniziano ora : infatti essendo a termini qualsiasi l'unico criterio che conosco per questi casi disperati è dimostrare la convergenza assoluta .

Come fare in questo esercizio ?



Grazie 1000 nuovamente :)

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Recepito prof !!

Spiegazione perfetta ... solo che quando i limiti non esistono vado nel panico :D

Quando ha tempo se riuscisse a darmi qualche consiglio all'altra domanda che ho postato ieri sera gliene sarei infinitamente grato :)

Buona domenica

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ciampax
ciampax - Tutor - 29255 Punti
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Allora vediamo, mi sembra di capire che la serie sia questa

[math]\sum_{n=1}^{+\infty}[\sin(\sin n)]^n[/math]

Se è così, allora per dimostrare che la serie è infinitesima basta ricordare il seguente fatto:
[math]\lim_{n\to+\infty} a^n=0[/math]
se
[math]-1<a<1[/math]
. Ora, dal momento che
[math]-1\le\sin n\le 1[/math]

per definizione della funzione seno e che quindi

[math]-1<\sin(-1)\le\sin(\sin n)\le\sin 1\le 1[/math]

ne risulta che i termini della base sono definitivamente compresi tra -1 e 1 (estremi esclusi) e quindi puoi applicare il risultato precedente per concludere che la successione dei termini generali è infinitesima.

Per la serie, osserva che essa è a segni non costanti (in quanto la funzione seno assume valori sia positivi che negativi). Andiamo allora a vedere cosa accade alla serie dei valori assoluti

[math]\sum_{n=1}^{+\infty}|\sin(\sin n)|^n[/math]

Essendo questa a termini di segno positivo, possiamo applicare il criterio della radice ennesima, da cui

[math]\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|\sin(\sin n)|^n}=\lim_{n\to+\infty}|\sin(\sin n)|[/math]
.
Ora, l'ultimo limite non esiste (in quanto la funzione seno è oscillante all'infinito), tuttavia, per quanto detto prima,
[math]|\sin(\sin n)|<1[/math]
, per cui, nonostante la non esistenza del limite, i termini sotto radice saranno sempre minori di uno e questo basta a concludere che la serie dei valori assoluti converge. Pertanto la serie converge assolutamente e, di conseguenza, converge anche semplicemente.
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