mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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ciao :hi incontro delle difficoltà nello studio di questa serie di funzione riconducibile a una serie di potenze:

[math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{nx^{2}-2nx+1}}{4n^{2}-1}[/math]


in particolare dovrei determinare il raggio di convergenza, verificare se converge puntualmente ed uniformemente e calcolare la somma della serie.

ho iniziato riscrivendo la serie nel seguente modo:

[math]e \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{n(x^{2}-2x)}}{4n^{2}-1}[/math]


ponendo

[math]t=e^{x^{2}-2x}[/math]


ottengo

[math]e \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{n}}{4n^{2}-1}[/math]


fin qui è corretto?
Un grazie in anticipo. :love
mc2
mc2 - Genius - 14194 Punti
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Si tratta di una serie a termini positivi

[math]{\mathcal S}=e\sum_{n=1}^\infty\frac{e^{n(x^2-2x)}}{4n^2-1}[/math]

Osserviamo che
[math]x^2-2x>0[/math]
se
[math]x<0[/math]
oppure
[math]x>2[/math]
e in questo caso si ha
[math]\lim_{n\to\infty}\frac{e^{n(x^2-2x)}}{4n^2-1}>1[/math]
quindi la serie diverge per
[math]x<0[/math]
e per
[math]x>2[/math]


Consideriamo quindi il caso
[math]0\le x\le 2[/math]
, che implica che
[math]e^{n(x^2-2x)}\le 1[/math]


Confrontiamo la serie data con la serie
[math]S'=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}[/math]
che e` convergente.
Se
[math]0<x<2[/math]
si ha
[math]\lim_{n\to\infty}
\frac{\frac{e^{n(x^2-2x)}}{4n^2-1}}{\frac{1}{4n^2}}=
\lim_{n\to\infty}e^{n(x^2-2x)}=0[/math]
quindi la serie data converge per
[math]0<x<2[/math]

Se
[math]x=0[/math]
oppure
[math]x=2[/math]
si ha
[math]e^{n(x^2-2x)}=1[/math]
e
[math]\lim_{n\to\infty}
\frac{\frac{e^{n(x^2-2x)}}{4n^2-1}}{\frac{1}{4n^2}}=
1[/math]
quindi, per il criterio del rapporto la serie data converge anche in questi casi limite.


L'intervallo di convergenza quindi e`
[math]0\le x\le 2[/math]


Somma della serie

(Per favore ricontrolla i conti perche' non si sa mai...)

[math]{\mathcal S}=e\sum_{n=1}^\infty\frac{e^{n(x^2-2x)}}{4n^2-1}
=e\sum_{n=1}^\infty\frac{t^{2n}}{4n^2-1}
[/math]

avendo posto
[math]t=e^{n(\frac{x^2}{2}-x)}[/math]
, con le condizioni
[math]0 < t\le 1[/math]
.
Scriviamo inoltre
[math]\frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)[/math]

quindi

[math]{\mathcal S}={\mathcal S}_1-{\mathcal S}_2=
\frac{e}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{t^{2n}}{2n-1}-
\frac{e}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{t^{2n}}{2n+1}[/math]


Consideriamo separatamente le due serie
[math]{\mathcal S}_1[/math]
ed
[math]{\mathcal S}_2[/math]
. Entrambe sono "parenti" della serie logaritmo:
[math]S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n}=-\log(1-t)[/math]


[math]{\mathcal S}_1=\frac{e}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{t^{2n}}{2n-1}=
\frac{et}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{t^{2n-1}}{2n-1}=
[/math]
[math]=\frac{et}{2}\left\{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n}-
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^{2n}}{2n}\right\}=[/math]
[math]=
\frac{et}{2}\left\{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n}-\frac{1}{2}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(t^2)}^n}{n}\right\}=[/math]
[math]=\frac{et}{2}\left\{-\log(1-t)+\frac{1}{2}\log(1-t^2)\right\}=[/math]
[math]=\frac{et}{4}\log\frac{1+t}{1-t}
[/math]


[math]{\mathcal S}_2=\frac{e}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{t^{2n}}{2n+1}=
\frac{e}{2t}\sum_{n=1}^\infty\frac{t^{2n+1}}{2n+1}=
\frac{e}{2t}\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n+1}}{2n+1}-\frac{e}{2t}t
[/math]

(nell'ultimo passaggio ho fatto partire la sommatoria da n=0, sottraendo il primo termine)

La sommatoria che vi compare e` quindi identica a quella appena calcolata

[math]{\mathcal S}_2=\frac{e}{2t}\left\{-\log(1-t)+\frac{1}{2}\log(1-t^2)\right\}-\frac{e}{2}=[/math]
[math]=\frac{e}{4t}\log\frac{1+t}{1-t}-\frac{e}{2}[/math]


Ora per ottenere la somma della serie di partenza basta rimettere insieme i pezzi e fare qualche semplificazione

Aggiunto 4 minuti più tardi:

Un'osservazione: la serie logaritmo converge per 0<t<1, quindi i calcoli mostrati sopra, a rigore, non valgono per t=1.

Per t=1 si puo` provare a calcolare il limite, oppure a sommare la serie
[math]\sum\frac{1}{4n^2-1}[/math]
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