mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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ciao :hi
incontro delle difficoltà con questa serie di funzione riconducibile ad una serie di potenza:
[math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{cosh(nx)}{(n+1)!}[/math]


in particolare dovrei determinare il raggio di convergenza, studiare la convergenza puntuale ed uniforme e calcolare la somma.

ho pensato di riscrivere il coseno iperbolico in questo modo:

[math]cosh(x)= \frac{1}{2} (e^{x}+e^{-x})[/math]


ottenendo quindi:
[math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\frac{1}{2} (e^{nx}+e^{-nx}))}{(n+1)!}[/math]


a questo punto non riesco a capire come ricondurmi ad una serie di potenza :cry
davi02
davi02 - Sapiens Sapiens - 1079 Punti
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[math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\left(\dfrac{e^{nx}}{2(n+1)!} + \dfrac{e^{-nx}}{2(n+1)!}\right)} =[/math]


[math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{e^{nx}}{2(n+1)!}} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{e^{-nx}}{2(n+1)!}} =[/math]


[math]\dfrac{e^{-x}}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{e^{(n+1)x}}{(n+1)!}} + \dfrac{e^x}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{e^{-(n+1)x}}{(n+1)!}} =[/math]


[math]\dfrac{e^{-x}}{2}\sum\limits_{n=2}^{\infty}{\dfrac{e^{nx}}{n!}} + \dfrac{e^x}{2}\sum\limits_{n=2}^{\infty}{\dfrac{e^{-nx}}{n!}} =[/math]


[math]\dfrac{e^{-x}}{2}(e^{e^x} - 1 - e^x) + \dfrac{e^x}{2}(e^{e^{-x}} - 1 - e^{-x}) =[/math]


[math]\dfrac{1}{2}(e^{e^x - x} + e^{e^{-x} + x} - e^{-x} - e^x) - 1[/math]


Convergenza puntuale in
[math]\mathbb{R}[/math]
e
[math]\mathbb{C}[/math]
.
Convergenza totale, quindi uniforme, nei compatti di
[math]\mathbb{R}[/math]
e
[math]\mathbb{C}[/math]
.
mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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grazie :bounce ma ancora non ho capito come calcolare il raggio di convergenza.
davi02
davi02 - Sapiens Sapiens - 1079 Punti
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La serie iniziale non è una serie di potenze, quindi non ha senso parlare del suo "raggio di convergenza"; essendo una serie di funzioni, ha senso parlare del suo insieme di convergenza (semplice o assoluta) in
[math]\mathbb{R}[/math]
oppure
[math]\mathbb{C}[/math]
: l'insieme di convergenza assoluta in
[math]\mathbb{R}[/math]
è
[math]\mathbb{R}[/math]
, in
[math]\mathbb{C}[/math]
è
[math]\mathbb{C}[/math]
.
mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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ho capito grazie :hi
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