Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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[math]\sum_{i=1}^\infty \frac{x^n+\sqrt{n}}{n^2+x^{2n}}[/math]

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Tentata risoluzione. Per vedere i valori in cui la serie converge, l'ho maggiorata con la serie seguente (tralascio per brevità gli estremi di somma)

[math] \sum\frac{x^n+\sqrt{n}}{x^{2n}}=\sum \underbrace{\left(\frac{1}{x}\right)^n}_\alpha+\underbrace{\frac{\sqrt{n}}{x^{2n}}}_\beta[/math]

Aggiunto 4 minuti più tardi:

Ora, si ha che

[math]\alpha[/math]
è una serie geometrica di ragione 1/x, e converge se
[math]-1<\frac{1}{x}<1 \rightarrow x<-1\cup x>1 [/math]
. Anche
[math] \beta[/math]
è convergente per gli stessi valori di x, come si può evincere applicando il criterio del rapporto. Poiche entrambe le serie convergono per x<-1 U x>1, anche la serie somma converge per gli stessi valori. Applicando il teorema del confronto, si ha che la serie originale è dunque convergente per x<-1 U x>1.
Rimarrebbe da esaminare il caso 0<|x|<1. Come fare?

Aggiunto 14 ore 40 minuti più tardi:

Un dubbio. Poichè

[math] 1^\infty = ind [/math]
non è stato un errore sostituire 1 alla n semplicemente con 1 nel caso b?
Aggiunto 4 giorni più tardi:

Posto il risultato. Mi dice se è giusto e, se non lo è, come si fa?

[math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{na^{n+1}-na^n-a^n-1}{a^{n(n+1)}+a^n+a^{n+1}+1[/math]
Chiede di vedere il carattere in funzione di a (positivo) e di CALCOLARE LA SOMMA nei casi di convergenza.

TENTATIVO. Ho applicato il criterio del rapporto, sono passato al limite, ottenendo una certa espressione X che ho posto <1 per vedere i casi della convergenza. Mi sono ritrovato di fronte a una disequazione che non ha nessuna soluzione. Da cui si ha che X dovrebbe divergere...

ciampax
ciampax - Tutor - 29294 Punti
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Non sono tanto convinto della tuamaggiorazione (tra l'altro il termine

[math]n^2[/math]
a denominatore dove è finito?). Comunque, io ragionerei separando le x positive da quelle negative.
[math]x\geq 0[/math]
. Separiamo questa cosa in 4 casi distiniti
[math]a)\ x>1,\qquad b)\ x=1,\qquad c)\ 0<x<1,\qquad d)\ x=0[/math]

I casi b) e d) sono immediati: infatti il termine generale diviene rispettivamente
[math]b)\ a_n=\frac{1+\sqrt{n}}{1+n^2}\sim\frac{\sqrt{n}}{n^2}=\frac{1}{n^{3/2}}[/math]

e quindi converge per confronto asintotico con una serie armonica generalizzata, e
[math]d)\ a_n=\frac{\sqrt{n}}{n^2}[/math]

e converge come prima.
Nel caso a) invece, osserva che si ha
[math]\lim_{n\to\infty} {a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x^{n+1}+\sqrt{n+1}}{(n+1)^2+x^{2n+2}}\cdot\frac{n^2+x^{2n}}{x^n+\sqrt{n}}=\\
\lim_{n\to\infty}\frac{x^{n+1}\left(1+\frac{\sqrt{n+1}}{x^{n+1}}\right)}{x^{2n+2}\left(1+\frac{(n+1)^2}{x^{2n+2}}\right)}\cdot\frac{x^{2n}\left(1+\frac{n^2}{x^{2n}}\right)}{x^n\left(1+\frac{\sqrt{n}}{x^n}\right)}=\frac{1}{x}[/math]

(i rapporti tra parentesi tonde tendono certamente a zero in quanto x>1) e tale limite, essendo x>1 è sicurmente sempre minore di 1. Quindi la serie converge per il criterio del rapporto.

Nel caso c) invece possiamo scrivere

[math]x^n+\sqrt{n}<1+\sqrt{n},\qquad n^2+x^{2n}>n^2[/math]

e quindi il termine generale è
[math]a_n<\frac{1+\sqrt{n}}{n^2}\sim\frac{\sqrt{n}}{n^2}[/math]

e di nuovo converge per confronto asintotico.
[math]x<0[/math]
In questo caso poniamo
[math]y=-x[/math]
per cui
[math]a_n=\frac{(-1)^n y^n+\sqrt{n}}{n^2+y^{2n}}[/math]

Per
[math]y=1[/math]
il trmine generale è
[math]a_n=\frac{\sqrt{n}-1}{n^2+1}[/math]

che converge come prima. Quando invece
[math]0<y<1[/math]
puoi di nuovo ragionare come nel caso c) precedente (infatti, da un certo n in poi, visto che la potenza di y diviene sempre più piccola, al numeratore prevarrà la radice di n e quindi avrai un comportamento asintotico simile al caso c) e quindi puoi affermare che la serie converge. Nel caso in cui, invece, y>1, la serie che ottieni presenta termini a segno alterno da un certo n in poi. Potresti applicare il criterio di leibniz, tuttavia se prendi il modulo del termine generale ti accorgi che
[math]|a_n|\geq\frac{y^n+\sqrt{n}}{n^2+y^{2n}}[/math]

e quindi per confronto con il caso a) precedente, la serie dei valori assoluti converge, quindi la serie converge assolutamente.

Ne segue che la tua serie converge per ogni x.

Aggiunto 5 ore 47 minuti più tardi:

Quella è una cosa che accade quando calcoli il limite. Io prima sostituisco un valore fissato e poi calcolo il limite. E' una cosa standard, se ci pensi. Ad esempio quando vuoi calcolare il limite della succesione

[math]a_n=x^n[/math]
dove
[math]x[/math]
è un numero reale qualsiasi, viene fuori che
[math]\lim_{n\to\infty} x^n=\left\{\begin{array}{lcl}
+\infty & & x>1\\ 1 & & x=1\\ 0 & & |x|<1\\ \textrm{non esiste} & & x\leq -1
\end{array}\right.[/math]

e il caso per
[math]x=1[/math]
risulta tale perché in tale situazione il termine generico diventa
[math]a_n=1^n=1[/math]
per qualsiasi
[math]n[/math]
.

ESERCIZIO 2
Dunque, credo che qui bisogna ragionare cercando di riscrivere il termine generico che è

[math]a_n=\frac{n a^{n+1}-n a^n-a^n-1}{a^{n(n+1)}+a^n+a^{n+1}+1}[/math]

Il denominatore può essere riscritto come
[math]a^{n(n+1)}+a^n+a^{n+1}+1=(a^{n+1}+1)(a^n+1)[/math]

e quindi io mi porrei il problema se sia possibile scrivere il termine generico in questo modo
[math]a_n=\frac{A(n)}{a^{n+1}+1}+\frac{B(n)}{a^n+1}[/math]

da cui, facendo un po' di conti risulta
[math]\frac{A(n) a^n+A(n)+B(n) a^{n+1}+B(n)}{(a^{n+1}+1)(a^n+1)}=\frac{n a^{n+1}-n a^n-a^n-1}{a^{n(n+1)}+a^n+a^{n+1}+1}[/math]

Uguagliando i termini a numeratore con le potenze simili otteniamo
[math]B(n)=n,\qquad A(n)=-n-1[/math]

per cui possiamo scrivere il termine generico come
[math]a_n=\frac{n}{a^{n}+1}-\frac{n+1}{a^{n+1}+1}[/math]

Questo permette di riconoscere la serie come serie telescopica generalizzata (tipo serie di Mengoli). Calcolando la somma ridotta N-ima si ottiene
[math]s_N=\sum_{n=1}^N\left[\frac{n}{a^{n}+1}-\frac{n+1}{a^{n+1}+1}\right]=\\
\left[\frac{1}{a+1}-\frac{2}{a^{2}+1}\right]+\left[\frac{2}{a^{2}+1}-\frac{3}{a^{3}+1}\right]+\left[\frac{3}{a^{3}+1}-\frac{4}{a^{4}+1}\right]+\ldots+\left[\frac{N}{a^{N}+1}-\frac{N+1}{a^{N+1}+1}\right]=\\
\frac{1}{a+1}-\frac{N}{a^{N+1}+1}[/math]

Ora, la somma della serie coincide con
[math]\lim_{N\to\infty}s_N=\frac{1}{a+1}-\lim_{N\to\infty}\frac{N}{a^{N+1}+1}[/math]

Ma il secondo limite tende a zero per
[math]a>1[/math]
, mentre tende ad infinito per
[math]0<a\leq 1[/math]
. Segue che la serie
diverge per
[math]0<a\leq 1[/math]

converge per
[math]a>1[/math]
ed ha somma
[math]S=\frac{1}{a+1}[/math]

NOTA: quando in un esercizio sulle serie ti chiedono la sua somma (eventuale) questo deve sempre suggerirti di riportarti o ad una serie geometrica oppure ad una serie telescopica generalizzata.
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