Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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[math]\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{{\log n}^{\log n}}[/math]

Aggiunto 3 minuti più tardi:

Ritengo più saggio l'uso del criterio della radice. La radice di an sarebbe
[math]\frac{1}{\log n^{\frac{\log n}{n}}}[/math]

Aggiunto 2 minuti più tardi:

dovrei calcolarmi il limite del denom. adesso ma è un problema...come si fa

Aggiunto 1 giorni più tardi:

La prima! Mi sembra di aver scritto correttalemente! log n ELEVATO A log n
ciampax
ciampax - Tutor - 29294 Punti
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Mmmmmm... la mia domanda è: l'argomento è

[math]\frac{1}{(\log n)^{\log n}}[/math]

oppure

[math]\frac{1}{\log(n^{\log n})}[/math]
??
Perché le cose cambiano di parecchio.

Aggiunto 8 ore 32 minuti più tardi:

Da come lo avevi scritto tu non si capiva bene se l'esponenente fosse solo dell'argomento del logaritmo di base o di tutto il logaritmo. (E comunque NO, NON HAI SCRITTO CORRETTAMENTE! Altrimenti non te lo avrei chiesto, ti pare?)

In ogni caso, io lo farei per confronto. Infatti vale l'identità

[math]a^{\log b}=b^{\log a}[/math]
per
[math]a,\ b>0[/math]
.
Ora puoi scrivere, se scegli
[math]n>3[/math]
che
[math]\log n>\log 3>1[/math]
e quindi
[math]\frac{1}{(\log n)^{\log n}}<\frac{1}{(\log 3)^{\log n}}=\frac{1}{n^{\log 3}}[/math]

e quindi la tua serie diventa

[math]\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(\log n)^{\log n}}=\frac{1}{(\log 2)^{\log 2}}+\sum_{n=3}^\infty\frac{1}{(\log n)^{\log n}}<\\
\frac{1}{(\log 2)^{\log 2}}+\sum_{n=3}^\infty\frac{1}{n^{\log 3}}[/math]

e l'ultima serie è una serie armonica generalizzata con esponente maggiore di uno e quindi converge. Avendo dimostrato che la serie data è minore di una serie convergente, per il Teorema del Confronto la serie data converge.
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