Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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Provare che la serie

[math] \sum_{n=1}^\infty\rho^n\cos{nx}[/math]
è convergente solo se
[math]0<\rho<= 1[/math]
ed ogni x reale, calcolandone la somma.
Aggiunto 8 minuti più tardi:

Tentata risoluzione. Procediao per assurdo, e poniamo rho > 1. Poniamo

[math]a_n=\rho\cos{nx}[/math]
. Si ha che a con n può essere rappresentata nel modo seguente
[math]\rho^n\cos{nx}=\rho^n\sin\({\frac{\pi}{2}+nx}\)=\rho^n \frac{\sin\({\frac{\pi}{2}+nx}\)}{\frac{\pi}{2}+nx}\(\frac{\pi}{2}+nx\)=\\ \rho^n\[nx+\frac{\pi}{2}\]\to\infty[/math]
.
Poichè a con n non tende a 0 non è verificata la condizione necessaria per la convergenza, e quindi si ha che rho non può sicuramente essere >1.

Aggiunto 5 minuti più tardi:

Ora per assurdo poniamo rho <0. In tal caso

[math] a_n=\rho^n\[nx+\frac{\pi}{2}\][/math]
è oscillante e crescente in valore assoluto, quindi non ha limite. Ultimo passaggio, vediamo cosa accade per n=1. a con n diventa
[math] a_n=1^n\cos{nx}[/math]
. Vorrei volentieri calcolarne il limite ma c'è quella forma indeterminata 1^n che non riesco a togliere!
Poi l'esercizio chiede di calcolare anche la somma della serie. Non ho idea di come farlo! Cioè posso immaginare che si ci riconduca alla serie geometrica, ma con quel coseno in mezzo la vedo difficile...

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Sicuro che non ha dimenticato un - rho quadro al numeratore? perchè per il resto a me viene tale e quale...

Aggiunto 1 ore 29 minuti più tardi:

Non è possibile. Perchè allora mi viene sbagliato? Posto il procedimento

[math] \frac{1}{1-z}-1=\frac{z}{1-z}=\frac{1}{\frac{1}{z}-1}\\z=\rho({\cos x+i\sin x})[/math]
.
Sapendo che
[math]\frac{1}{z}=z^{-1}=\frac{1}{\rho}(\cos{-x}+i\sin{-x})=\frac{1}{\rho}(\cos x - i\sin x)[/math]
Sostituendo verrebbe
[math] \frac{1}{\frac{1}{z}-1}=\frac{1}{\frac{1}{\rho}\cos x - i\frac{1}{\rho}\sin x-1}[/math]
Razionalizzando, semplificando ed escludendo i termini con la i mi rimane quello che ho scritto io. Dove ho sbagliato?
ciampax
ciampax - Tutor - 29294 Punti
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E' molto più semplice di come l'hai scritta tu! Tra l'altro, ti faccio presente che il limite che scrivi per

[math]\rho>1[/math]
è sbagliato, in quanto tu hai usato il limite notevole
[math]\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1[/math]
, ma nel caso che hai usato la
[math]t[/math]
tende a infinito in quanto
[math]t=nx+\frac{\pi}{2}[/math]
.
Il modo migliore per dimostrare la convergenza è, secondo me, quello di usare le proprietà dei numeri complessi. Infatti se
[math]z=\rho(\cos x+i\sin x)[/math]
è un numero complesso espresso in forma trigonometrica, allora
[math]z^n=\rho^n(\cos(nx)+i\sin(nx))[/math]
(formula di De Moivre)
e sai che la serie
[math]\sum_{n=1}^\infty z^n[/math]

converge se e solo se
[math]|z|<1[/math]
(serie geometrica di ragione
[math]z[/math]
). Essendo la serie da te proposta la parte reale di questa serie, essa converge se e solo se converge la serie geometrica che ho scritto io (un teorema afferma che una serie complessa converge se e solo se convergono sia la parte reale che quella immaginaria) e quindi se e solo se
[math]|z|=\rho<1[/math]
(osserva che il modulo è sempre positivo, quindi il caso dei valori di
[math]\rho<0[/math]
viene automaticamente scartato). Inoltre, non essendoci condizioni su x, la convergenza è assicurata per ogni x.
Per quanto riguarda la somma, possiamo scrivere che
[math]\sum_{n=1}^\infty z^n=\left(\sum_{n=0}^\infty z^n\right)-1=\frac{1}{1-z}-1=\frac{z}{1-z}[/math]

per
[math]|z|<1[/math]
. Ne segue che, essendo la somma della serie da te cercata pari alla parte reale della somma scritta sopra, si ha
[math]S=\frac{1}{2}\left(\frac{z}{1-z}+\frac{\bar{z}}{1-\bar{z}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{z(1-\bar{z})+\bar{z}(1-z)}{(1-z)(1-\bar{z})}\right)=\\
\frac{1}{2}\cdot\frac{z+\bar{z}}{|1-z|^2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\rho\cos x}{(1-\rho\cos x)^2+\rho^2\sin^2 x}[/math]

e quindi la somma vale
[math]S=\frac{\rho\cos x}{1+\rho^2-2\rho\cos x}[/math]
.
Aggiunto 1 giorni più tardi:

No. La somma è quella. Fidati. Anche perché la serie che hai proposto si chiama Nucleo di Poisson, e la forma esplicita è quella che ho scritto io.

Aggiunto 16 ore 52 minuti più tardi:

Ho capito dove sta (il mio) errore. Mi manca a numeratore

[math]-2|z|^2[/math]
(io ho cancellato i due). Ok, manca il
[math]-\rho[/math]
. La somma corretta è
[math]S=\frac{\cos x-\rho}{1+\rho^2-2\rho\cos x}[/math]
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