dribusen
dribusen - Habilis - 175 Punti
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salve a tutti, avevo già chiesto questo argomento ma poi per mia dimenticanza non ho continuato a rispondere ed è stata chiusa, e per questo mi scuso con gli amministratori.
io non ho capito come si riesce a rappresentare i risultati della radice di un numero complesso. so che si ha un raggio da calcolare e quello ok. ma poi come si capisce dove posizionare gli altri punti?. da quello che ho capito se si hanno due radici forma una retta. se si hanno 3 soluzioni forma una triangolo equilatero e cosi via. ma come lo si rappresenta?
ho questo radice complessa:

[math]\sqrt[3]{(\frac{1}{8}-\frac{i-1}{\sqrt{2}})}[/math]

io ho ottenuto questi risultati:

[math]k_1=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{4}\pi.}[/math]

[math]k_2=\frac{1}{2}e^{\frac{11}{12}\pi.}[/math]

[math]k_3=\frac{1}{2}e^{\frac{19}{12}\pi.}[/math]

grazie mille a tutti ragazzi:):)
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, dati
[math]x,\,y \in \mathbb{R}[/math]
un numero complesso può essere rappresentato
come
[math]z := x + i\,y = \sqrt{x^2 + y^2}\left(\cos\theta + i\,\sin\theta\right) = \rho\,e^{i\,\theta}[/math]
, dove:
[math]\theta = \begin{cases} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi & se \; x < 0 \\ \begin{cases} - \frac{\pi}{2} & se \; y < 0 \\ + \frac{\pi}{2} & se \; y > 0 \end{cases} & se \; x = 0 \\ \arctan\left(\frac{y}{x}\right) & se \; x > 0 \end{cases}\\[/math]
.
Nel caso in oggetto:
[math]z = -\frac{1}{8\sqrt{2}} + i\frac{1}{8\sqrt{2}} = \frac{1}{8}\left(\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right) + i\,\sin\left(\frac{3}{4}\pi\right)\right) = \frac{1}{8}e^{i\,\frac{3}{4}\pi}\\[/math]
.
Quindi, facendo riferimento alla formuletta di cui sopra, si ha:
[math]\left(\sqrt[3]{z}\right)_0 = \frac{1}{2}e^{i\,\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\,\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{1}{2\sqrt{2}} + i\,\frac{1}{2\sqrt{2}}[/math]
;
[math]\left(\sqrt[3]{z}\right)_1 = \frac{1}{2}e^{i\,\frac{11}{12}\pi} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{11}{12}\pi\right) + i\,\sin\left(\frac{11}{12}\pi\right)\right) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{4\sqrt{2}} + i\,\frac{-1 + \sqrt{3}}{4\sqrt{2}}[/math]
;
[math]\left(\sqrt[3]{z}\right)_2 = \frac{1}{2}e^{i\,\frac{19}{12}\pi} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{19}{12}\pi\right) + i\,\sin\left(\frac{19}{12}\pi\right)\right) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{4\sqrt{2}} - i\,\frac{1 + \sqrt{3}}{4\sqrt{2}}\\[/math]
.
A questo punto non credo sia "difficile" rappresentarle nel piano complesso. :)
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dato un numero complesso
[math]z = \rho\,(\cos\theta + i\,\sin\theta) = \rho\,e^{i\,\theta}[/math]
,
le proprie radici n-esime sono:
[math]\left(\sqrt[n]{z}\right)_k = \sqrt[n]{\rho}\,\left[\cos\left(\frac{\theta + 2\,k\,\pi}{n}\right) + i\,\sin\left(\frac{\theta + 2\,k\,\pi}{n}\right)\right] = \sqrt[n]{\rho}\,e^{i\,\frac{\theta + 2\,k\,\pi}{n}}[/math]
,
per
[math]k = 0,\,1,\,2,\,\dots,\,n-1\\[/math]
.
Quindi, ricordando che
[math]\rho[/math]
indica la distanza dall'origine degli assi
e
[math]\theta[/math]
l'angolo misurato rispetto all'asse reale in senso antiorario...
P.S.: potresti mostrarci come hai calcolato quelle radici? :)
dribusen
dribusen - Habilis - 175 Punti
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Questa sera appena faccio cena ti scrivo il procedimento che ho usato così mi vedi se ho fatto bene:):)

Aggiunto 1 ora 53 minuti più tardi:

ho innanzitutto calcolato il modulo del numero complesso.

[math]\mid z \mid = \sqrt{(\frac{-1}{8\sqrt{2}})^2+(\frac{1}{8\sqrt{2}})^2}=\frac{1}{8}[/math]
poi tramite la formula inversa della parte reale di un numero complesso ho calcolato l'argomento.

[math]\cos(\theta)=\frac{-1}{8\sqrt{2}}*8=\frac{-1}{\sqrt{2}}[/math]

da cui
[math]\theta=\arccos(\frac{-1}{\sqrt{2}})=\frac{3}{4}\pi[/math]
poi le soluzioni le ho trovate con la stessa formula che hai scritto tu:):)
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Il problema è che sopra hai scritto
[math]\small z = \frac{1}{8} - \frac{i - 1}{\sqrt{2}} = \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) + i\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)[/math]
. :)
dribusen
dribusen - Habilis - 175 Punti
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Mia culpa.....ho scritto male....non è
[math]\frac{1}{8}-\frac{i-1}{\sqrt{2}}[/math]
ma
[math]\frac{1}{8}*\frac{i-1}{\sqrt{2}}[/math]
Perdonami
dribusen
dribusen - Habilis - 175 Punti
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Ahhh capito:):) trovo le parti del grafico e poi trovo il punto:) ok:) grazie mille del tuo aiuto:)
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