gasx95
gasx95 - Erectus - 121 Punti
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Ciao :)

Mi aiutereste con questo esercizio mostrandomi i vari passaggi ? Grazie mille !
davi02
davi02 - Sapiens Sapiens - 1079 Punti
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L’esercizio è stabilire per quali valori del paramentro
[math]k[/math]
il polinomio
[math]2x^3 + 9x^2 - 24x + k[/math]
ammette tre radici reali (distinte).
Poni

[math]g(x) = 2x^3 + 9x^2 - 24x[/math]


e osserva che le radici del polinomio sono le soluzioni dell’equazione
[math]g(x) = -k[/math]
.
Si tratta allora di stabilire per quali valori del paramentro
[math]k[/math]
l’equazione
[math]g(x) = -k[/math]
ammette tre radici reali (distinite).
Questo lo si può decidere facendo uno studio completo del grafico di
[math]g(x)[/math]
.
I dati salienti sono che

a)
[math]g(x) \to -\infty[/math]
per
[math]x \to -\infty[/math]

b)
[math]g(x) \to +\infty[/math]
per
[math]x \to +\infty[/math]

c)
[math]g[/math]
è strettamente crescente in
[math]]-\infty, -4][/math]

d)
[math]g[/math]
è strettamente decrescente in
[math][-4, 1][/math]

e)
[math]g[/math]
è strettamente crescente in
[math][1, +\infty[[/math]

f)
[math]g(-4) = 112[/math]

g)
[math]g(1) = -13[/math]

Da queste informazioni si ricava che
[math]g(x) = -k[/math]
ammette tre radici reali distinte se e solo se
[math]-112 < k < 13[/math]
.
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