miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Salve a tutti. Come da titolo, non mi è molto chiaro quando una matrice è diagonalizzabile. Io avevo capito che una matrice è diagonalizzabile quando ha molteplicità algebrica massima. Tuttavia mi viene il dubbio che non sia così. Fammi un esempio. Data la matrice:

[math] \begin{bmatrix}1&1&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&2 \end{bmatrix} [/math]

risulta che tale matrice ha l autovalore 1 di molteplicità algebrica pari a 2 e l autovalore 2 di molteplicità algebrica pari ad 1. Quindi se non ho sbagliato a capire, la matrice dovrebbe essere diagonalizzabile. Tuttavia risulta che l autospazio generato dall autovalore 1 ha dimensione mari ad 1. Di conseguenza la matrice non è in realtà diagonalizzabile. Intuisco a questo punto che forse non ho ben inteso alcuni concetti. Qualcuno potrebbe spiegarmi meglio quest argomento?
Grazie a tutti in anticipo.
ciampax
ciampax - Tutor - 29294 Punti
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La condizione necessaria è sufficiente per la diagonalizzabilità è la seguente:

Sia data una matrice

[math]M[/math]
quadrata di ordine
[math]n[/math]
dotata di
[math]r[/math]
autovalori
[math]\lambda_i,\ i=1,\ldots,r[/math]
. Siano
[math]a_i=[/math]
molteplicità algebrica di
[math]\lambda_i[/math]

[math]m_i=[/math]
molteplicità geometrica di
[math]\lambda_i[/math]
(cioè la dimensione dell'autospazio associato all'autovalore
[math]\lambda_i[/math]
)
La matrice
[math]M[/math]
risulta diagonalizzabile se e solo se
[math]\sum_{i=1}^r a_i=n[/math]
e
[math]a_i=m_i,\ \forall\ i=1,\ldots,r[/math]
.
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