Pensif
Pensif - Ominide - 4 Punti
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∫sin(log(x+1))dx non riesco a trovare un metodo per risolverlo.
ciampax
ciampax - Tutor - 29255 Punti
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Dunque abbiamo

[math]\int\sin(\log(x+1))\ dx[/math]


Poniamo
[math]\log(1+x)=t[/math]
: allora
[math]x=e^t-1[/math]
e
[math]dx=e^t\ dt[/math]
, da cui

[math]I=\int\sin(t)\cdot e^t\ dt[/math]


A questo punto possiamo procedere integrando per parti: si ha


[math]I=e^t\sin t-\int e^t\cos t\ dt=e^t\sin t-\left[e^t\cos t+\int e^t\sin t\ dt\right]=\\ e^t\sin t-e^t\cos t-I[/math]


Ma allora si ha

[math]2I=e^t\sin t-e^t\cos t+c[/math]


da cui

[math]I=\frac{e^t}{2}(\sin t-\cos t)+c[/math]


e quindi, dalla posizione fatta

[math]I=\frac{x+1}{2}\left[\sin(\log(1+x))-\cos(\log(1+x))\right]+c[/math]
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