miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Salve a tutti. Come da titolo, vorrei sapere se c è un metodo ben preciso per determinare, dato uno spazio vettoriale, una sua base. Ad esempio c è un esercizio in cui mi viene richiesto di determinare una base dello spazio vettoriale:
3x+y+2z+w=0
Ora io potrei facilmente scegliere ragionando in maniera esclusivamente logica, 4 vettori in R4 che soddisfino la precedente equazione; tuttavia non mi sembra un metodo corretto e mi sono quindi chiesto se ci fosse un metodo più rigoroso e matematico per determinare in generale una base di un dato spazio vettoriale. Qualcuno potrebbe aiutami? Grazie mille a tutti in anticipo.

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Ok grazie mille. Ho solo un altra domanda, anche se non centra molto con il post. Non ho ancora molto chiaro il concetto di isomorfismo, potresti spiegarmelo meglio, magari con qualche esempio e in maniera non troppo complicata??
ciampax
ciampax - Tutor - 29294 Punti
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In generale, il metodo più "ovvio" è il seguente: supponi di sapere che, il vettore generico del tuo spazio sia fatto da n componenti e dipenda da r parametri distinti (nel caso dell'esempio che hai postato, hai 4 componenti e 3 parametri indipindenti, in quanto potresti determinare w in funzione di x,y,z).

Questo implica che la tua base è formata da r vettori (i parametri rappresentano la "libertà" con cui puoi scegliere i vettori di base). La scelta migliore, allora, è quello di porre, volta per volta, uno dei parametri pari ad 1 e gli altri pari a zero: questo ti assicura un isomorfismo tra la base canonica dello spazio
[math]\mathbb{R}^r[/math]
e il tuo spazio vettoriale e, quindi, anche una base "buona" del tuo spazio.
Nell'esempio, essendo
[math]w=-3x-y-2z[/math]

segue
[math]v=(x,y,z,-3x-y-2z)[/math]

e quindi i vettori di base

[math]v_1=(1,0,0,-3),\qquad v_2=(0,1,0,-1),\qquad v_3=(0,0,1,-2)[/math]

Aggiunto 16 ore 34 minuti più tardi:

Definizione: dati due spazi vettoriali
[math]V,W[/math]
sun un campo [math\mathbb{K}[/math] una applicazione
[math]F:V\rightarrow W[/math]
si dice isomorfismo se
1)
[math]F(v+v')=F(v)+F(v'),\qquad F(\lambda v)=\lambda F(v)[/math]
per ogni
[math]v,v'\in V,\qquad \lambda\in\mathbb{K}[/math]
;
2)
[math]F[/math]
è iniettiva e suriettiva.
La condizione espressa in 1) dice che 'applicazione è lineare. Quella in 2), invece, implica che gli spazi abbiano la stessa dimensione: infatti
[math]F[/math]
iniettiva se e solo se
[math]\mathrm{Ker}(F)=0[/math]
[math]F[/math]
suriettiva se e solo se
[math]\mathrm{Im}(F)=W[/math]

Ma dall'equazione delle dimensioni

[math]\dim V=\dim\ \mathrm{Ker}(F)+\dim\ \mathrm{Im}(F)[/math]

segue che

[math]\dim V=0+\dim W=\dim W[/math]

Questo vuol dire che due spazi sono isomorfi ogniqualvolta che hanno la stessa dimensione!!!!

Continuo dopo!

Aggiunto 3 ore 20 minuti più tardi:

Allora, stavo dicendo dell'isomorfismo tra spazi vettoriali. Come ti facevo notare, basta che due spazi abbiano la stessa dimensione al fine di essere isomorfi. Tutto ciò deriva da questa semplice osservazione: considera lo spazio vettoriale
[math]V[/math]
sul campo
[math]\mathbb{K}[/math]
con
[math]\dim\ V=n[/math]
e base
[math]\{v_i\ :\ i=1,\ldots,n\}[/math]
. Considera poi lo spazio vettoriale "canonico"
[math]\mathbb{K}^n[/math]
con la base canonica
[math]\{e_i\ :\ i=1,\ldots,n\}[/math]
, dove ogni vettore è quello in cui hai 1 nella posizione i e zero nelle altre. L'applicazione
[math]F:V\rightarrow\mathbb{K}^n[/math]

definita da
[math]F(v_i)=e_i[/math]
ed estesa per linearità risulta un isomorfismo. Infatti la linearità viene per definizione. Per l'iniettività, se
[math]v_i\neq v_j[/math]
allora
[math]e_i\neq e_j[/math]
. Infine per la suriettività si ha che, ogni volta che scegli un vettore
[math]e_i[/math]
esso ha come controimmagine
[math]v_i[/math]
. Poiché una applicazione è definita una volta che sai quali sono i valori sulla base, allora risulta che
[math]F[/math]
è iniettiva e suriettiva rispetto a qualsiasi vettore di
[math]V[/math]
.
Ora, visto che
[math]V[/math]
è uno spazio qualsiasi, risulta che TUTTI gli spazi di dimensione
[math]n[/math]
sono isomorfi a
[math]\mathbb{K}^n[/math]
, ed essendo l'isomorfismo una proprietà transitiva (i.e. se A è isomorfo a B e B è isomorfo a C allora A è isomorfo a C) segue che tutti gli spazi vettoriali di dimensione
[math]n[/math]
fissata costruiti sullo stesso campo
[math]\mathbb{K}[/math]
sono tra loro isomorfi.
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