a4321
a4321 - Sapiens Sapiens - 838 Punti
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Buonasera, sto svolgendo:
" Il numero di un certo tipo di cellule su triplica in un anno. Se inizialmente tali cellule occupano un volume V, dopo quanti anni il volume da ease occupato sarà oltre 500 volte quello iniziale?"
Ho letto la soluzione riportata da un docente ma non ho compreso il motivo per cui si debbano applicare i logaritmi. La progressione è geometrica, quindi devo applicare la formula C=Cq. Questa formula del mio libro non mi è chiara. La ragione q è 3?
Grazie infinite

nRT
nRT - Moderatore - 3325 Punti
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Ciao,
effettivamente ha ragione il docente. Il problema, infatti, non chiede che volume occuperanno dopo un determinato tempo, ma dopo quanto tempo occuperanno un determinato volume.
Il ragionamento però è lo stesso:
Abbiamo un volume V:
dopo 1 anno:

[math]3V[/math]

dopo 2 anni:

[math]9V[/math]

dopo 3 anni:

[math]27V[/math]

...

dopo n anni:

[math]3^nV[/math]

...

dopo x anni:

[math]500V[/math]

Noi dobbiamo trovare proprio x, quindi avremo:

[math]
3^x = 500 \\
x = \log_3 500
[/math]

Spero ti possa essere d'aiuto. Se non ti torna qualcosa chiedi pure ;)
Ciao

a4321
a4321 - Sapiens Sapiens - 838 Punti
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Grazie mille vorrei fugare questi dubbi per favore:

1) perché 3 alla n si eguaglia a 500 se nel problema si dice che il volume sarà oltre 500 volte? Io pensavo che si mettesse maggiore > perché dice "oltre".
2) L'esponente della potenza 3 coincide con gli anni che, a loro volta, coincidono con il logaritmo? 500 invece è l'argomento del logaritmo?
Grazie infinite molto gentile e disponibile grazie

nRT
nRT - Moderatore - 3325 Punti
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Ciao
1) hai ragione, mi era sfuggito :). Il maggiore è senz'altro meglio dell'uguale.
2) Abbiamo i seguenti passaggi:

a. "il volume triplica", quindi a ogni passo moltiplicheremo 3 (o equivalentemente aggiungeremo 1 all'esponente)

b. "triplica ogni anno" significa che dopo x anni, il volume sarà

[math]3^x[/math]
(il 3 è la base scelta nel punto a. L'esponente sono il numero di anni, visto che aggiungiamo 1 ogni anno)

c. Come sopra abbiamo detto:

[math]V = 3^x[/math]
. Ora vogliamo sapere quando
[math]V > 500[/math]
.
Unendo le 2 relazioni, abbiamo:
[math]500 < V = 3^x[/math]

Noi vogliamo sapere dopo quanti anni, quindi x. Dunque :

[math]500 < 3^x[/math]

Questa la risolviamo normalmente applicando i logaritmi a entrambi i membri:

[math]
log_3 3^x > log_3 500 \\
x > log_3 500
[/math]

Se qualcosa non ti torna chiedi pure in quale punto hai difficoltà. Ciao ;)

a4321
a4321 - Sapiens Sapiens - 838 Punti
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Grazie mille

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